В прямоугольном треугольнике АВС ВС гипотенуза, ∠C= 30°. Hа АС лежит точка Д так, что ∠АВД = 30°. ДС = 6. Найдите АД.

Разбираемся:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определим углы в треугольнике АВС. Нам дано, что \( \angle C = 30° \). Так как треугольник прямоугольный (\( \angle B = 90° \)), то \( \angle BAC = 180° - 90° - 30° = 60° \).
2. Шаг 2: Рассмотрим треугольник ABD. Нам дано, что \( \angle ABD = 30° \). Так как \( \angle BAC = 60° \), то \( \angle ADB = 180° - 30° - 60° = 90° \). Это означает, что BD является высотой треугольника ABC.
3. Шаг 3: В прямоугольном треугольнике BDC, \( \angle C = 30° \) и \( \angle DBC = 90° - 30° = 60° \). Нам дано \( DC = 6 \).
4. Шаг 4: Найдем сторону BC. В прямоугольном треугольнике BDC: \( \tan(30°) = \frac{BD}{DC} \) и \( \tan(60°) = \frac{BC}{BD} \). Также \( \tan(30°) = \frac{BD}{6} \), откуда \( BD = 6 \tan(30°) = 6 \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2√3 \).
5. Шаг 5: Теперь найдем сторону AC. В прямоугольном треугольнике ABC: \( \tan(30°) = \frac{AB}{BC} \) и \( \tan(60°) = \frac{BC}{AC} \). Так как \( \tan(60°) = \frac{BC}{AC} \), то \( AC = \frac{BC}{\tan(60°)} \).
6. Шаг 6: Мы знаем, что \( BC = BD \tan(60°) \) (из треугольника BDC) или \( BC = AB \tan(30°) \) (из треугольника ABC). В прямоугольном треугольнике BDC: \( \tan(30°) = \frac{BD}{DC} \) => \( BD = DC \tan(30°) = 6 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} \).
7. Шаг 7: В прямоугольном треугольнике ABC: \( \tan(30°) = \frac{AB}{BC} \) и \( \tan(60°) = \frac{BC}{AC} \).
8. Шаг 8: Рассмотрим треугольник ABD. \( \tan(30°) = \frac{AD}{BD} \). Отсюда \( AD = BD \tan(30°) \).
9. Шаг 9: Подставим значение BD, найденное на Шаге 6: \( AD = \frac{6}{\sqrt{3}} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6}{3} = 2 \).

Ответ: 2