В прямоугольном треугольнике АВС угол С равен 60°, гипотенуза ВС равна 4. Определите взаимное расположение прямой АВ и окружности радиуса 2 с центром С.

Решение:

1. Дано: \( \triangle ABC \) — прямоугольный, \( \angle C = 60^{\circ} \), \( BC = 4 \), радиус окружности \( r = 2 \) с центром в точке \( C \).
2. В прямоугольном треугольнике \( \angle B = 90^{\circ} \) (так как \( \angle C = 60^{\circ} \) и \( \angle A = 30^{\circ} \)).
3. Определим длину катета \( AC \): \( AC = BC \cos(60^{\circ}) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 \).
4. Таким образом, расстояние от точки \( C \) до прямой \( AB \) равно длине катета \( AC \), то есть \( 2 \).
5. Радиус окружности равен \( 2 \).
6. Так как расстояние от центра окружности \( C \) до прямой \( AB \) равно радиусу окружности ( \( AC = r = 2 \)), то прямая \( AB \) является касательной к окружности.

Ответ: AB — касательная.