В прямоугольном треугольнике АВС, у которого ∠C = 90°, ∠A = 30°, проведена высота CD. Найди длину отрезка BD, если АВ = 84 см.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC:

1. Угол \( \angle B = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник BDC. В нём \( \angle BCD = 90^{\circ} - \angle B = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).
3. В прямоугольном треугольнике ABC, по теореме о синусах: \( \frac{AC}{\sin 60^{\circ}} = \frac{BC}{\sin 30^{\circ}} = \frac{AB}{\sin 90^{\circ}} \).
4. Найдём длину катета BC: \( BC = AB \cdot \sin 30^{\circ} = 84 \cdot \frac{1}{2} = 42 \) см.
5. В прямоугольном треугольнике BDC, катет BD является прилежащим к углу \( \angle B = 60^{\circ} \).
6. По определению косинуса, \( \cos B = \frac{BD}{BC} \).
7. Отсюда \( BD = BC \cdot \cos 60^{\circ} = 42 \cdot \frac{1}{2} = 21 \) см.

Ответ: 21 см.