В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С известно, что АС = 16, sin A = \frac{3}{5}. Найдите АВ.

Ответ: 26.(6)

Разбираемся:

1. В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. В нашем случае:
   \[\sin A = \frac{BC}{AB}\]
2. Выразим отсюда гипотенузу AB:
   \[AB = \frac{BC}{\sin A}\]
3. Нам известен катет AC, прилежащий к углу A, а нужно найти гипотенузу AB. Выразим катет BC через тангенс угла A:
   \[\tan A = \frac{BC}{AC} \Rightarrow BC = AC \cdot \tan A\]
4. Выразим \(\tan A\) через \(\sin A\):
   \[\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}\]
5. \(\cos A\) найдем из основного тригонометрическое тождества:
   \[\sin^2 A + \cos^2 A = 1 \Rightarrow \cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}\]
6. Тогда:
   \[\tan A = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4}\]
7. Находим BC:
   \[BC = AC \cdot \tan A = 16 \cdot \frac{3}{4} = 12\]
8. Подставляем значение BC в формулу для AB:
   \[AB = \frac{BC}{\sin A} = \frac{12}{\frac{3}{5}} = 12 \cdot \frac{5}{3} = 4 \cdot 5 = 20\]

Ответ: 20