107. В прямоугольном треугольнике АВС катет АС=52, а высота СН, опущенная на гипотенузу, равна 26√3. Найдите sin∠ABC.

Решение: В прямоугольном треугольнике АВС высота СН, опущенная на гипотенузу, равна 26√3, а катет АС = 52. Обозначим угол \(ABC\) как \(\beta\). Тогда \(sin \beta = \frac{AC}{AB}\). Нужно найти сторону АВ. Площадь треугольника АВС можно найти двумя способами: 1) \(S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC\) 2) \(S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH\) Приравняем эти два выражения: \(\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH\) \(AC \cdot BC = AB \cdot CH\) \(52 \cdot BC = AB \cdot 26\sqrt{3}\) \(AB = \frac{52 \cdot BC}{26\sqrt{3}} = \frac{2BC}{\sqrt{3}}\) Теперь рассмотрим треугольник AHC. Он прямоугольный. Тогда: \(sin A = \frac{CH}{AC} = \frac{26\sqrt{3}}{52} = \frac{\sqrt{3}}{2}\) Это значит, что угол \(A = 60^\circ\), следовательно, угол \(B = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\). Значит, \(sin B = sin 30^\circ = \frac{1}{2}\). Ответ: \(sin \angle ABC = \frac{1}{2}\).