В прямоугольном треугольнике АВС через середину Р катета АС проведён перпендикуляр, пересекающий гипотенузу АВ в точке М. Найдите АВ, если СМ = 11 см.

Ответ: 22 см

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где P - середина катета AC.
2. Проведем перпендикуляр из точки P к гипотенузе AB, пересекающий ее в точке M.
3. По условию, CM = 11 см.
4. Так как PM - перпендикуляр к AB, то треугольник AMP - прямоугольный.
5. Поскольку P - середина AC, то AP = PC.
6. Рассмотрим треугольники APM и CPM. У них:
   • AP = PC (по условию)
   • ∠APM = ∠CPM = 90° (PM - перпендикуляр)
   • PM - общая сторона
7. Следовательно, треугольники APM и CPM равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).
8. Из равенства треугольников следует, что AM = CM.
9. Так как CM = 11 см, то AM = 11 см.
10. Поскольку PM - перпендикуляр к AB, то треугольник CMB - прямоугольный.
11. Так как треугольники APM и CPM равны, то ∠A = ∠C.
12. В треугольнике ABC сумма углов A и C равна 90° (так как угол B - прямой).
13. Следовательно, ∠A = ∠C = 45°.
14. Тогда треугольник CMB - равнобедренный (так как ∠C = 45° и ∠B = 45°).
15. Следовательно, CM = MB = 11 см.
16. Гипотенуза AB равна сумме AM и MB: AB = AM + MB = 11 см + 11 см = 22 см.

Ответ: 22 см