В прямоугольном треугольнике АВС (∠C = 90°) проведена высота CD так, что длина отрезка BD на 4 больше длины отрезка CD, AD = 9. Найдите большую сторону треугольника АВС.

Решение:

Пусть длина отрезка CD равна \( x \). Тогда длина отрезка BD равна \( x + 4 \).

В прямоугольном треугольнике ABC, CD — высота. По свойству высоты, проведённой из вершины прямого угла, имеем:

\( CD^2 = AD \cdot BD \)

Подставляем известные значения:

\( x^2 = 9 \cdot (x + 4) \)

Решаем полученное квадратное уравнение:

\( x^2 = 9x + 36 \)

\( x^2 - 9x - 36 = 0 \)

Найдём дискриминант:

\[ D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 81 + 144 = 225 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:

\[ x_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 15}{2} = \frac{24}{2} = 12 \]

\[ x_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{9 - 15}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]

Так как длина отрезка не может быть отрицательной, \( x = 12 \). Следовательно, \( CD = 12 \).

Тогда \( BD = CD + 4 = 12 + 4 = 16 \).

Теперь найдём катеты треугольника ABC:

\( AC^2 = AD \cdot AB = AD \cdot (AD + BD) = 9 \cdot (9 + 16) = 9 \cdot 25 = 225 \)

\( AC = \sqrt{225} = 15 \).

\( BC^2 = BD \cdot AB = BD \cdot (AD + BD) = 16 \cdot (9 + 16) = 16 \cdot 25 = 400 \)

\( BC = \sqrt{400} = 20 \).

Стороны треугольника ABC равны \( AC = 15 \), \( BC = 20 \) и \( AB = 25 \).

Наибольшая сторона треугольника — это гипотенуза AB.

Ответ: 25.