8. В прямоугольном треугольнике АВС (∠C = 90°) провели высоту СН. Найдите АН, если CB = 20, ∠A = 30°.

Решение: 1. В прямоугольном треугольнике ABC, зная катет CB и угол A, можно найти гипотенузу AB: $$\sin A = \frac{CB}{AB}$$ $$\sin 30^\circ = \frac{20}{AB}$$ $$\frac{1}{2} = \frac{20}{AB}$$ $$AB = 40$$ 2. Найдем катет AC: $$AC = AB \cdot \cos A = 40 \cdot \cos 30^\circ = 40 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3}$$ 3. Используем свойство высоты в прямоугольном треугольнике: $$CB^2 = AB \cdot BH$$ $$20^2 = 40 \cdot BH$$ $$400 = 40 \cdot BH$$ $$BH = 10$$ 4. Найдем AH: $$AH = AB - BH = 40 - 10 = 30$$ **Ответ: 30**