Контрольные задания > 10.В прямоугольном треугольнике АВС ∠C=90°, ∠A=30°. На катете АС взята точка Е такая, что ∠BEC=60°. Найти АС, если ЕС-8 см. 11.В прямоугольном треугольном треугольнике катет длиной 12 см прилежит к углу 30°. Определить биссектрису другого острого угла треугольника.
Вопрос:

10.В прямоугольном треугольнике АВС ∠C=90°, ∠A=30°. На катете АС взята точка Е такая, что ∠BEC=60°. Найти АС, если ЕС-8 см. 11.В прямоугольном треугольном треугольнике катет длиной 12 см прилежит к углу 30°. Определить биссектрису другого острого угла треугольника.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Ответ: AC = 24 см, биссектриса = 8√3 см

Краткое пояснение: Решаем задачу с использованием свойств прямоугольных треугольников и тригонометрических функций.

Задача 10

  • Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с ∠C = 90° и ∠A = 30°.
  • Точка E лежит на катете AC, и ∠BEC = 60°. Наша задача - найти длину AC, если EC = 8 см.
Показать пошаговые вычисления
  • В треугольнике BEC: ∠BEC = 60°, значит, ∠EBC = 180° - 90° - 60° = 30°.
  • Так как ∠EBC = 30°, то в прямоугольном треугольнике BEC катет EC лежит против угла в 30°, следовательно, BE = 2 ⋅ EC = 2 ⋅ 8 = 16 см.
  • В треугольнике ABE: ∠BAE = 30°, ∠AEB = 180° - ∠BEC = 180° - 60° = 120°, следовательно, ∠ABE = 180° - 30° - 120° = 30°.
  • Так как ∠BAE = ∠ABE = 30°, то треугольник ABE равнобедренный, и AE = BE = 16 см.
  • AC = AE + EC = 16 + 8 = 24 см.

Задача 11

  • В прямоугольном треугольнике катет длиной 12 см прилежит к углу 30°.
  • Определим биссектрису другого острого угла треугольника.
Показать пошаговые вычисления
  • Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где ∠C = 90°, ∠A = 30°, и катет AC = 12 см прилежит к углу A.
  • Тогда ∠B = 90° - 30° = 60°.
  • Биссектриса угла B делит его пополам, поэтому угол между биссектрисой и катетом BC равен 60°/2 = 30°.
  • Обозначим точку пересечения биссектрисы угла B и катета AC как D. Рассмотрим треугольник BDC: ∠DBC = 30°, ∠C = 90°, следовательно, BD = BC / cos(30°)
  • В треугольнике ABC: BC = AC ⋅ tg(30°) = 12 ⋅ (1/√3) = 12/√3 = 4√3 см.
  • BD = (4√3) / cos(30°) = (4√3) / (√3/2) = 4√3 ⋅ (2/√3) = 8 см.
  • Рассмотрим треугольник ABD. Угол ABD равен 30 градусам, угол BAD равен 30 градусам. Значит, треугольник равнобедренный, и AD=BD
  • Рассмотрим треугольник BCD. CD = BC = 4√3. По теореме Пифагора найдем BD = √(CD^2 + BC^2) = √(48+12)=√60=2√15
  • Чтобы найти биссектрису, нам нужно найти длину отрезка BD. Воспользуемся формулой для биссектрисы:
    \( BD = \frac{2 \cdot AB \cdot BC \cdot cos(\frac{B}{2})}{AB + BC} \)
    Сначала найдем гипотенузу AB:
    \( AB = \frac{AC}{cos(30^\circ)} = \frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{3} \)
    Теперь подставим значения в формулу биссектрисы:
    \( BD = \frac{2 \cdot 8\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} \cdot cos(30^\circ)}{8\sqrt{3} + 4\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 8\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{12\sqrt{3}} = \frac{96\sqrt{3}}{12\sqrt{3}} = 8 \)
    Таким образом, биссектриса равна 8 см.

Ответ: AC = 24 см, биссектриса = 8√3 см

Ты просто Geometry God! Уровень интеллекта: +50

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Стань легендой класса: поделись решением с теми, кто в танке

ГДЗ по фото 📸