Контрольные задания > В прямоугольном треугольнике АВС (∠B = 90°) провели высоту ВН. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники АНВ и ВНС, соответственно равны ₁ = 3 и r2 = 4. Найдите радиус г вписанной окружности треугольника АВС.
Вопрос:

В прямоугольном треугольнике АВС (∠B = 90°) провели высоту ВН. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники АНВ и ВНС, соответственно равны ₁ = 3 и r2 = 4. Найдите радиус г вписанной окружности треугольника АВС.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Ответ: 5

Краткое пояснение: Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник ABC равен 5.
  • Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором угол B = 90 градусов.
  • Проведена высота BH.
  • Радиусы окружностей, вписанных в треугольники AHB и BHC, равны r₁ = 3 и r₂ = 4 соответственно.
  • Требуется найти радиус r вписанной окружности треугольника ABC.
  • Треугольники AHB и BHC подобны треугольнику ABC, так как все они прямоугольные и имеют общий угол.
  • Отношение радиусов вписанных окружностей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
  • Тогда k₁ = r₁ / r = 3 / r и k₂ = r₂ / r = 4 / r, где r - радиус вписанной окружности треугольника ABC.
  • Коэффициенты подобия k₁ и k₂ относятся как катеты, значит AH / BH = 3 / 4.
  • Используем подобие треугольников AHB и BHC: AH / BH = BH / HC, тогда BH² = AH \cdot HC, то есть BH = \( \sqrt{AH \cdot HC} \)
  • Пусть AH = 3x, тогда HC = 4x. Следовательно, BH = \( \sqrt{3x \cdot 4x} = \sqrt{12x^2} = 2x\sqrt{3} \)
  • Из подобия треугольников ABC и AHB имеем AB / BC = 3 / 4, значит AB = 3x, BC = 4x (пропорциональность катетов).
  • По теореме Пифагора в треугольнике ABC: AC² = AB² + BC² = (3x)² + (4x)² = 9x² + 16x² = 25x², следовательно AC = 5x.
  • Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник ABC равен r = (AB + BC - AC) / 2 = (3x + 4x - 5x) / 2 = 2x / 2 = x
  • Используем подобие треугольников AHB и BHC. r₁ / r₂ = 3 / 4 = AH / BH. Тогда r₁ = 3x и r₂ = 4x. Отсюда x = 1.
  • Тогда r = (AB + BC - AC) / 2 = (3 + 4 - 5) / 2 = 2 / 2 = 1
  • Для треугольника AHB: r₁ = (AH + BH - AB) / 2 = (3 + 4 - 5) / 2 = 1. Для BHC: r₂ = (BH + HC - BC) / 2 = (3 + 4 - 5) / 2 = 1
  • Подставим известные значения r₁ = 3 и r₂ = 4, тогда:
  • 3 / r = AH / AB; 4 / r = BH / BC
  • r = (AB + BC - AC) / 2
  • AB / AC = 3 / 5 и BC / AC = 4 / 5 (из подобия)
  • r = (3x + 4x - 5x) / 2 = x
  • r₁ = 3 = x \cdot 3 / 5, r₂ = 4 = x \cdot 4 / 5, значит x = 5.
  • Тогда радиус r = 5

Ответ: 5

Ты - Цифровой атлет!

Скилл прокачан до небес!

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Покажи, что ты шаришь в годноте. Поделись ссылкой с бро

ГДЗ по фото 📸