В прямоугольном треуголь- нике АВС ∠B = 90°, ∠C= 30°, ВС = 18 см. Найдите длины отрезков, на которые биссек- триса AD делит катет ВС.

Ответ: BD = 6 см, DC = 12 см

1. В прямоугольном треугольнике ABC, где ∠B = 90° и ∠C = 30°, найдем угол ∠A: \[∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 90° - 30° = 60°\]
2. AD - биссектриса угла A, следовательно, она делит угол A пополам: \[∠BAD = ∠CAD = \frac{∠A}{2} = \frac{60°}{2} = 30°\]
3. В прямоугольном треугольнике ABC, зная катет BC и угол C, можно найти гипотенузу AB: \[AB = BC \cdot \tan(∠C) = 18 \cdot \tan(30°) = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}\]
4. По свойству биссектрисы треугольника, биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: \[\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}\] Для начала найдем сторону АС \[AC = \frac{BC}{\sin(∠A)} = \frac{18}{\sin(60°)} = \frac{18}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{36}{\sqrt{3}} = 12\sqrt{3}\] Подставим значения: \[\frac{BD}{CD} = \frac{6\sqrt{3}}{12\sqrt{3}} = \frac{1}{2}\] То есть BD = x, CD = 2x
5. Так как BD + CD = BC = 18 см, то \[x + 2x = 18\] \[3x = 18\] \[x = 6\] Следовательно, BD = 6 см, CD = 2 * 6 = 12 см.

Ответ: BD = 6 см, DC = 12 см