15. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC = 8, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 2√15. Найдите sin ∠ABC.

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся подобием треугольников. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где AC - катет, и CH - высота, опущенная на гипотенузу AB. 1. **Подобие треугольников:** Треугольник ACH подобен треугольнику ABC (по двум углам - оба прямоугольные и имеют общий угол A). 2. **Отношение сторон:** Из подобия треугольников следует, что sin ∠ABC = AC/AB и sin ∠ACH = AH/AC. Поскольку ∠ABC = ∠ACH (из подобия), то sin ∠ABC = sin ∠ACH. 3. **Выразим AH:** Площадь треугольника ABC можно выразить двумя способами: * S = 1/2 * AC * BC * S = 1/2 * AB * CH 4. **Выразим BC через AB:** Так как площадь одна и та же, то AC * BC = AB * CH, следовательно, 8 * BC = AB * (2√15) и BC = (AB * 2√15) / 8 = (AB * √15) / 4. 5. **Теорема Пифагора:** По теореме Пифагора для треугольника ABC: AC^2 + BC^2 = AB^2, следовательно, 8^2 + ((AB * √15) / 4)^2 = AB^2. 64 + (15 * AB^2) / 16 = AB^2. Умножаем всё на 16: 1024 + 15 * AB^2 = 16 * AB^2, AB^2 = 1024. AB = √1024 = 32. 6. **Найдем синус угла ABC:** sin ∠ABC = AC / AB = 8 / 32 = 1/4 = 0.25. **Ответ:** 0.25