4. В прямоугольном треугольнике ABC ∠C = 90°, биссектриса АК равна 18 см. Расстояние от точки К до прямой АВ равно 9 см. Найдите угол АКВ.

Ответ: 120°

Обозначим расстояние от точки K до прямой AB как KD. По условию, AK - биссектриса угла A, и KD = 9 см. Так как KD - расстояние от точки K до AB, то KD перпендикулярно AB, и треугольник AKD - прямоугольный.

В прямоугольном треугольнике AKD гипотенуза AK = 18 см, а катет KD = 9 см. Заметим, что катет KD равен половине гипотенузы AK. Это означает, что угол DAK равен 30° (так как в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы).

Так как AK - биссектриса угла A, то угол A равен 2 * 30° = 60°.

Теперь найдем угол B в прямоугольном треугольнике ABC (угол C равен 90°):

\[∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 60° - 90° = 30°\]

Рассмотрим треугольник AKB. В этом треугольнике известны два угла: угол BAK (половина угла A, то есть 30°) и угол B (30°). Найдем угол AKB:

\[∠AKB = 180° - ∠BAK - ∠B = 180° - 30° - 30° = 120°\]

Ответ: 120°