В прямоугольном треугольнике ABC ∠A=90°, AB=20 см, высота AD равна 12 см. Найдите АС и cos C.

Ответ: AC = 25 см, cos C = 0.28

Решение:

1. Найдем гипотенузу BC по теореме Пифагора для треугольника ABC: \[BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}\] Так как нам нужно найти AC, выразим ее через известные величины.
2. Выразим площадь треугольника ABC двумя способами:
   • Через катеты: \[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC\]
   • Через гипотенузу и высоту: \[S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AD\]
3. Приравняем оба выражения для площади: \[\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AD\] \[AB \cdot AC = BC \cdot AD\] \[20 \cdot AC = BC \cdot 12\]
4. Из треугольника ABD найдем BD:
   \[BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16\] см
5. Из подобия треугольников ABC и DBA следует:
   \[\frac{AB}{BC} = \frac{BD}{AB}\] \[BC = \frac{AB^2}{BD} = \frac{20^2}{16} = \frac{400}{16} = 25\] см
6. Найдем AC по теореме Пифагора для треугольника ABC:
   \[AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{25^2 - 20^2} = \sqrt{625 - 400} = \sqrt{225} = 15\] см
7. Найдем cos C по определению косинуса в прямоугольном треугольнике: \[cos C = \frac{AC}{BC} = \frac{15}{25} = 0.6\]

Ответ: AC = 15 см, cos C = 0.6