В прямоугольном треугольнике \(ABC\) из вершины прямого угла провели медиану \(CM\), \(\angle BMC = 110^\circ\). Найдите больший из острых углов треугольника \(ABC\). В ответе запишите только число.

Пошаговое решение:

1. Пусть в прямоугольном треугольнике \(ABC\) угол \(C\) прямой, \(CM\) - медиана, проведенная к гипотенузе \(AB\). Тогда по свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, имеем: \[ CM = \frac{1}{2} AB = AM = MB \]
2. Рассмотрим треугольник \(BMC\). Так как \(CM = MB\), то треугольник \(BMC\) равнобедренный с основанием \(BC\). Следовательно, углы при основании равны: \[ \angle MCB = \angle MBC \]
3. Известно, что \(\angle BMC = 110^\circ\). Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\), поэтому в треугольнике \(BMC\): \[ \angle MCB + \angle MBC + \angle BMC = 180^\circ \] \[ 2 \cdot \angle MCB + 110^\circ = 180^\circ \] \[ 2 \cdot \angle MCB = 70^\circ \] \[ \angle MCB = \angle MBC = 35^\circ \]
4. Теперь рассмотрим треугольник \(ABC\). Угол \(C\) прямой, то есть \(\angle ACB = 90^\circ\). Угол \(ACB\) состоит из двух углов: \(\angle MCB\) и \(\angle MCA\). Найдем угол \(MCA\): \[ \angle MCA = \angle ACB - \angle MCB = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ \]
5. Рассмотрим треугольник \(AMC\). Так как \(AM = CM\), то треугольник \(AMC\) равнобедренный с основанием \(AC\). Следовательно, углы при основании равны: \[ \angle MAC = \angle MCA = 55^\circ \]
6. Сумма углов в треугольнике \(ABC\) равна \(180^\circ\), поэтому: \[ \angle ABC + \angle BAC + \angle ACB = 180^\circ \] Угол \(ABC\) равен углу \(MBC\), который равен \(35^\circ\). Угол \(BAC\) равен углу \(MAC\), который равен \(55^\circ\).
7. Острые углы треугольника \(ABC\) это \(\angle ABC = 35^\circ\) и \(\angle BAC = 55^\circ\). Больший из них - \(55^\circ\).

Ответ: 55