В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 длина АВ = 4, ВС = 5 и АА₁ = 3. Верны ли приведённые утверждения?

Ответ: Нужно выбрать верные варианты ответа из предложенных.

Решение:

• Объем параллелепипеда:

  Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты: \[V = AB \cdot BC \cdot AA_1 = 4 \cdot 5 \cdot 3 = 60\]

  Таким образом, утверждение "Объём параллелепипеда равен 60" верно.

• Площадь боковой поверхности:

  Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда равна периметру основания, умноженному на высоту: \[S_{бок} = 2(AB + BC) \cdot AA_1 = 2(4 + 5) \cdot 3 = 2 \cdot 9 \cdot 3 = 54\]

  Таким образом, утверждение "Площадь боковой поверхности равна 54" верно.

• Сумма длин рёбер параллелепипеда:

  У прямоугольного параллелепипеда 12 рёбер, по 4 ребра каждой длины. Сумма длин всех рёбер равна: \[L = 4(AB + BC + AA_1) = 4(4 + 5 + 3) = 4 \cdot 12 = 48\]

  Таким образом, утверждение "Сумма длин рёбер параллелепипеда равна 24" неверно.

• Площадь полной поверхности:

  Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда равна сумме площадей боковой поверхности и двух площадей основания: \[S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot AB \cdot BC = 54 + 2 \cdot 4 \cdot 5 = 54 + 40 = 94\]

  Таким образом, утверждение "Площадь полной поверхности равна 74" неверно.

• Площадь поверхности сферы, описанной около параллелепипеда:

  Радиус сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда, равен половине диагонали параллелепипеда: \[R = \frac{1}{2} \sqrt{AB^2 + BC^2 + AA_1^2} = \frac{1}{2} \sqrt{4^2 + 5^2 + 3^2} = \frac{1}{2} \sqrt{16 + 25 + 9} = \frac{1}{2} \sqrt{50} = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}\]

  Площадь поверхности сферы равна: \[S_{сферы} = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot \left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 4\pi \cdot \frac{25 \cdot 2}{4} = 50\pi\]

  Таким образом, утверждение "Площадь поверхности сферы, описанной около параллелепипеда, равна 25π" неверно.

Ответ: Объём параллелепипеда равен 60 и Площадь боковой поверхности равна 54