В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 рёбра CD, CB и диагональ боковой грани CD₁ равны соответственно 2, 4 и √53. Найдите объём параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.

Решение:

* Обозначим ребра параллелепипеда: \(CD = a = 2\), \(CB = b = 4\), а диагональ боковой грани \(CD_1 = d = \sqrt{53}\). * Высоту параллелепипеда обозначим \(DD_1 = h\). * Рассмотрим прямоугольный треугольник \(CDD_1\). По теореме Пифагора: \[CD_1^2 = CD^2 + DD_1^2\]\[d^2 = a^2 + h^2\] * Выразим высоту \(h\): \[h = \sqrt{d^2 - a^2}\] * Подставим значения: \[h = \sqrt{(\sqrt{53})^2 - 2^2} = \sqrt{53 - 4} = \sqrt{49} = 7\] * Площадь основания параллелепипеда (прямоугольника ABCD) равна: \[S_{осн} = a \cdot b = 2 \cdot 4 = 8\] * Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту: \[V = S_{осн} \cdot h = 8 \cdot 7 = 56\]

Ответ: 56