1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что BB1=2, A1B1=5, A1D1=14. Найдите длину диагонали CA1. 2. Диагональ куба равна \sqrt{75}. Найдите его объём. 3. В прямоугольном параллелепипеде АВCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB=14, AD=9, АА1-12. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки В, С1 и D1. 4. Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы - прямые). 5. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми AD1 и А1В1. Ответ дайте в градусах. 6. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми АВ1 и СС1. Ответ дайте в градусах. 7. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми В1С и А1С1. Ответ дайте в градусах.

1. В прямоугольном параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ известно, что $$BB_1=2$$, $$A_1B_1=5$$, $$A_1D_1=14$$. Найдите длину диагонали $$CA_1$$. * Шаг 1: Найдем $$A_1B$$ по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $$A_1BB_1$$: $$A_1B = \sqrt{A_1B_1^2 + BB_1^2} = \sqrt{5^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}$$ * Шаг 2: Так как $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ прямоугольный параллелепипед, то $$A_1D_1 = AD = 14$$. Найдем $$AB$$ по теореме Пифагора из прямоугольника $$ABCD$$: $$AB = A_1B_1 = 5$$ * Шаг 3: Найдем $$AC$$ по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $$ABC$$: $$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{5^2 + 14^2} = \sqrt{25 + 196} = \sqrt{221}$$ * Шаг 4: Найдем $$CA_1$$ по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $$AA_1C$$: $$CA_1 = \sqrt{AC^2 + AA_1^2} = \sqrt{AC^2 + BB_1^2} = \sqrt{221 + 2^2} = \sqrt{221 + 4} = \sqrt{225} = 15$$ Ответ: $$\sqrt{225} = $$ 15 2. Диагональ куба равна $$\sqrt{75}$$. Найдите его объём. * Шаг 1: Обозначим сторону куба за $$a$$. Диагональ куба $$d$$ связана со стороной куба $$a$$ формулой: $$d = a\sqrt{3}$$ Отсюда, $$a = \frac{d}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5$$ * Шаг 2: Объем куба $$V$$ равен: $$V = a^3 = 5^3 = 125$$ Ответ: 125 3. В прямоугольном параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ известны длины рёбер: $$AB=14$$, $$AD=9$$, $$AA_1=12$$. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки $$B$$, $$C_1$$ и $$D_1$$. * Шаг 1: Сечение $$BC_1D_1$$ представляет собой треугольник. Найдем стороны этого треугольника. * Шаг 2: Найдем $$BC_1$$ по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $$BCC_1$$: $$BC_1 = \sqrt{BC^2 + CC_1^2} = \sqrt{AD^2 + AA_1^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$$ * Шаг 3: Найдем $$BD_1$$ по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $$BDD_1$$: $$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{14^2 + 9^2} = \sqrt{196 + 81} = \sqrt{277}$$ $$BD_1 = \sqrt{BD^2 + DD_1^2} = \sqrt{277 + 12^2} = \sqrt{277 + 144} = \sqrt{421}$$ * Шаг 4: Найдем $$D_1C_1$$ по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $$D_1A_1B_1$$: $$D_1C_1 = \sqrt{A_1D_1^2 + A_1A^2} = \sqrt{AB^2 + AA_1^2} = \sqrt{14^2 + 12^2} = \sqrt{196 + 144} = \sqrt{340}$$ * Шаг 5: Так как длины сторон треугольника разные, то это разносторонний треугольник. Для нахождения площади сечения воспользуемся формулой Герона. * Шаг 6: Найдем полупериметр $$p$$ треугольника $$BC_1D_1$$: $$p = \frac{BC_1 + BD_1 + D_1C_1}{2} = \frac{15 + \sqrt{421} + \sqrt{340}}{2} \approx \frac{15 + 20.52 + 18.44}{2} \approx 26.98$$ * Шаг 7: Площадь треугольника $$BC_1D_1$$ равна: $$S = \sqrt{p(p - BC_1)(p - BD_1)(p - D_1C_1)} \approx \sqrt{26.98(26.98 - 15)(26.98 - 20.52)(26.98 - 18.44)} = \sqrt{26.98 \cdot 11.98 \cdot 6.46 \cdot 8.54} \approx \sqrt{17737.5} \approx 133.18$$ Ответ: $$\approx$$ 133.18 4. Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые). * Рисунок 1: * Шаг 1: Площадь поверхности состоит из суммы площадей всех граней. Посчитаем количество и площадь каждой грани: * 2 грани $$4 \times 4 = 16$$ * 1 грань $$6 \times 11 = 66$$ * 1 грань $$4 \times 11 = 44$$ * 1 грань $$4 \times 6 = 24$$ * 2 грани $$4 \times (11-6) = 4 \times 5 = 20$$ * 2 грани $$4 \times (4-4) = 4 \times 0 = 0$$ * 2 грани $$4 \times (6-6) = 4 \times 0 = 0$$ * 2 грани $$4 \times (4-4) = 4 \times 0 = 0$$ * Шаг 2: Найдем площадь поверхности многогранника: $$S = 2 \cdot 16 + 66 + 44 + 24 + 2 \cdot 20 = 32 + 66 + 44 + 24 + 40 = 206$$ * Рисунок 2: * Шаг 1: Площадь поверхности состоит из суммы площадей всех граней. Посчитаем количество и площадь каждой грани: * 1 грань $$5 \times 4 = 20$$ * 1 грань $$5 \times 3 = 15$$ * 1 грань $$4 \times 3 = 12$$ * 1 грань $$(5-1) \times 3 = 4 \times 3 = 12$$ * 1 грань $$(4-1) \times 3 = 3 \times 3 = 9$$ * 1 грань $$1 \times 4 = 4$$ * 1 грань $$1 \times 3 = 3$$ * 1 грань $$1 \times 1 = 1$$ * Шаг 2: Найдем площадь поверхности многогранника: $$S = 20+15+12+12+9+4+3+1 = 76$$ Ответ: 1) 206 2) 76 5. В кубе $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ найдите угол между прямыми $$AD_1$$ и $$A_1B_1$$. Ответ дайте в градусах. * Шаг 1: Прямая $$A_1B_1$$ параллельна прямой $$AB$$, значит угол между прямыми $$AD_1$$ и $$A_1B_1$$ равен углу между прямыми $$AD_1$$ и $$AB$$. Соединим точки $$B$$ и $$D_1$$. Получим треугольник $$ABD_1$$. Так как $$AD_1=BD_1=AB \sqrt{2}$$, треугольник равносторонний. * Шаг 2: Значит угол $$BAD_1=60^\circ$$. Ответ: 45 (т.к. $$AD_1$$ и $$A_1B_1$$ скрещивающиеся прямые, то угол между ними равен углу между $$AD_1$$ и $$A_1D_1$$, а это 45 градусов) 6. В кубе $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ найдите угол между прямыми $$AB_1$$ и $$CC_1$$. Ответ дайте в градусах. * Шаг 1: Прямая $$CC_1$$ параллельна прямой $$AA_1$$, следовательно, искомый угол равен углу между прямыми $$AB_1$$ и $$AA_1$$. * Шаг 2: Рассмотрим прямоугольник $$ABB_1A_1$$, в котором $$AB_1$$ - диагональ. Следовательно, угол $$B_1AA_1$$ равен 45 градусам. Ответ: 90 (так как $$AB_1$$ и $$CC_1$$ скрещивающиеся прямые, то угол между ними 90 градусов, т.к. $$CC_1$$ перпендикулярна плоскости $$ABB_1$$) 7. В кубе $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ найдите угол между прямыми $$B_1C$$ и $$A_1C_1$$. Ответ дайте в градусах. * Шаг 1: $$A_1C_1 \parallel AC$$, поэтому угол между $$B_1C$$ и $$A_1C_1$$ равен углу между $$B_1C$$ и $$AC$$. * Шаг 2: Заметим, что $$B_1C=AC$$, $$B_1C=\sqrt{2a^2}$$ ($$a$$- сторона куба). Рассмотрим тетраэдр $$AB_1CC_1$$. У него $$B_1C=AC$$, $$AB_1=CC_1$$, а значит этот тетраэдр равнобедренный, и $$AC$$ пересекает $$B_1C$$ под углом $$60^\circ$$. Ответ: 60