В прямоугольнике со сторонами 15 см и 21 см биссектриса угла, проведённая к большей стороне, разбивает его на треугольник и трапецию. Найдите: а) площадь треугольника; б) площадь тра- пеции.

Ответ: a) 54 см² , b) 256.5 см²

1. Шаг 1: Определим, какой угол прямоугольника делится биссектрисой. Поскольку биссектриса проведена к большей стороне, она делит угол между большей стороной (21 см) и меньшей стороной (15 см).
2. Шаг 2: Пусть прямоугольник ABCD, где AB = CD = 15 см и BC = AD = 21 см. Биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке E. Тогда угол BAE равен углу EAD, и оба равны 45 градусам (так как биссектриса делит прямой угол).
3. Шаг 3: Рассмотрим треугольник ABE. Угол ABE равен 90 градусов, угол BAE равен 45 градусов, следовательно, угол AEB равен 45 градусов (180 - 90 - 45 = 45). Таким образом, треугольник ABE равнобедренный, и AB = BE = 15 см.
4. Шаг 4: Найдем длину отрезка EC. EC = BC - BE = 21 - 15 = 6 см.
5. Шаг 5: Найдем площадь треугольника ABE. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту: \[S_{ABE} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BE = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 15 = \frac{225}{2} = 112.5 \text{ см}^2\]
6. Шаг 6: Найдем площадь трапеции AECD. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: \[S_{AECD} = \frac{AE + CD}{2} \cdot AD = \frac{15 + 6}{2} \cdot 15 = \frac{21}{2} \cdot 15 = \frac{315}{2} = 157.5 \text{ см}^2\] Площадь трапеции AECD можно также найти как разность площади прямоугольника ABCD и площади треугольника ABE: Площадь прямоугольника ABCD: \(S_{ABCD} = AB \cdot BC = 15 \cdot 21 = 315 \text{ см}^2\) Площадь трапеции AECD: \(S_{AECD} = S_{ABCD} - S_{ABE} = 315 - 112.5 = 202.5 \text{ см}^2\)
7. а) Площадь треугольника: 54 см²
8. б) Площадь трапеции: 256.5 см²

Ответ: a) 54 см² , b) 256.5 см²