В прямоугольнике ABCD сторона AB в 2 раза больше стороны AD, точка К — середина стороны AB. Найдите угол CKD.

Решение:

Пусть \( AD = x \). Тогда \( AB = 2x \).

Так как \( K \) — середина \( AB \), то \( AK = KB = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} (2x) = x \).

В прямоугольнике \( ABCD \): \( AD = BC = x \) и \( AB = CD = 2x \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle CBK \).

\( KB = x \), \( BC = x \). Это равнобедренный прямоугольный треугольник. Углы при катетах равны \( 45^{\circ} \). Следовательно, \( \angle BKC = 45^{\circ} \).

Теперь рассмотрим треугольник \( \triangle CKD \).

У нас есть стороны \( CD = 2x \) и \( KD \). Найдём \( KD \) по теореме Пифагора в \( \triangle AKD \).

\( AD = x \), \( AK = x \). \( KD^2 = AD^2 + AK^2 = x^2 + x^2 = 2x^2 \). Следовательно, \( KD = \sqrt{2x^2} = x\sqrt{2} \).

В \( \triangle CKD \): \( CD = 2x \), \( KD = x\sqrt{2} \).

Найдём \( CK \) по теореме Пифагора в \( \triangle CBK \).

\( CK^2 = KB^2 + BC^2 = x^2 + x^2 = 2x^2 \). Следовательно, \( CK = \sqrt{2x^2} = x\sqrt{2} \).

Таким образом, \( CK = KD = x\sqrt{2} \). Треугольник \( \triangle CKD \) — равнобедренный.

Чтобы найти угол \( \angle CKD \), применим теорему косинусов к \( \triangle CKD \):

\( KD^2 = CK^2 + CD^2 - 2 \cdot CK \cdot CD \cdot \cos(\angle CKD) \)

\( (x\sqrt{2})^2 = (x\sqrt{2})^2 + (2x)^2 - 2 \cdot x\sqrt{2} \cdot 2x \cdot \cos(\angle CKD) \)

\( 2x^2 = 2x^2 + 4x^2 - 4x^2\sqrt{2} \cos(\angle CKD) \)

\( 0 = 4x^2 - 4x^2\sqrt{2} \cos(\angle CKD) \)

\( 4x^2 = 4x^2\sqrt{2} \cos(\angle CKD) \)

\( 1 = \sqrt{2} \cos(\angle CKD) \)

\( \cos(\angle CKD) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Следовательно, \( \angle CKD = 45^{\circ} \).

Ответ: 45°.