8. В прямоугольнике ABCD на сторонах ВС и AD отмечены точки Е и F так, что BE : EC = 3:4, AF : FD = 2:3. Найдите отношение площадей четырехугольников ABEF и DCEF.

Ответ: 31:39

1. Шаг 1: Обозначим стороны прямоугольника

Пусть AB = CD = a, BC = AD = b.

2. Шаг 2: Выразим BE, EC, AF, FD через b

Так как BE : EC = 3:4, то BE = \(\frac{3}{7}\)b, EC = \(\frac{4}{7}\)b.

Так как AF : FD = 2:3, то AF = \(\frac{2}{5}\)b, FD = \(\frac{3}{5}\)b.

3. Шаг 3: Найдем площадь четырехугольника ABEF

Площадь ABEF = \(\frac{1}{2}\) (BE + AF) \cdot AB = \(\frac{1}{2}\) (\(\frac{3}{7}\)b + \(\frac{2}{5}\)b) \cdot a = \(\frac{1}{2}\) (\(\frac{15+14}{35}\)b) \cdot a = \(\frac{29}{70}\)ab.

4. Шаг 4: Найдем площадь четырехугольника DCEF

Площадь DCEF = \(\frac{1}{2}\) (EC + FD) \cdot CD = \(\frac{1}{2}\) (\(\frac{4}{7}\)b + \(\frac{3}{5}\)b) \cdot a = \(\frac{1}{2}\) (\(\frac{20+21}{35}\)b) \cdot a = \(\frac{41}{70}\)ab.

5. Шаг 5: Найдем отношение площадей ABEF и DCEF

Отношение площадей ABEF и DCEF = \(\frac{\frac{29}{70}ab}{\frac{41}{70}ab} = \frac{29}{41}\)

Ответ: 29:41