Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВ правильной призме АВСА,В,С, площадь треугольника АВС₁ равна Ѕ. Плоскость АВС, образует с плоскостью основания угол а. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
Ответ:
Ответ: \(\frac{6S}{\sqrt{3}}\cdot \cos{\alpha}\)
-
Обозначим сторону основания призмы как а, а высоту призмы как h. Тогда площадь треугольника ABC₁ можно выразить как:
\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \sqrt{a^2 + h^2}\] -
Из условия, что плоскость ABC₁ образует с плоскостью основания угол α, имеем:
\[\cos{\alpha} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{\sqrt{a^2 + h^2}}\]Выразим отсюда \(\sqrt{a^2 + h^2}\):
\[\sqrt{a^2 + h^2} = \frac{\sqrt{3}a}{2\cos{\alpha}}\] -
Подставим полученное выражение в формулу площади треугольника:
\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}a}{2\cos{\alpha}} = \frac{\sqrt{3}a^2}{4\cos{\alpha}}\] -
Выразим a² через S:
\[a^2 = \frac{4S\cos{\alpha}}{\sqrt{3}}\]Тогда а равно:
\[a = \sqrt{\frac{4S\cos{\alpha}}{\sqrt{3}}} = 2\sqrt{\frac{S\cos{\alpha}}{\sqrt{3}}}\] -
Найдем h:
\[\cos^2{\alpha} = \frac{3a^2}{4(a^2 + h^2)}\] \[4a^2\cos^2{\alpha} + 4h^2\cos^2{\alpha} = 3a^2\] \[4h^2\cos^2{\alpha} = 3a^2 - 4a^2\cos^2{\alpha}\] \[h^2 = \frac{a^2(3 - 4\cos^2{\alpha})}{4\cos^2{\alpha}}\] \[h = \sqrt{\frac{a^2(3 - 4\cos^2{\alpha})}{4\cos^2{\alpha}}} = \frac{a\sqrt{3 - 4\cos^2{\alpha}}}{2\cos{\alpha}}\]Подставим а :
\[h = \frac{2\sqrt{\frac{S\cos{\alpha}}{\sqrt{3}}}\sqrt{3 - 4\cos^2{\alpha}}}{2\cos{\alpha}} = \sqrt{\frac{S(3 - 4\cos^2{\alpha})}{\sqrt{3}\cos{\alpha}}}\] -
Площадь боковой поверхности призмы равна:
\[S_{бок} = 3ah\]Подставим a и h :
\[S_{бок} = 3 \cdot 2\sqrt{\frac{S\cos{\alpha}}{\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{\frac{S(3 - 4\cos^2{\alpha})}{\sqrt{3}\cos{\alpha}}} = 6\sqrt{\frac{S^2(3 - 4\cos^2{\alpha})}{3}}\]Тут какое то странное выражение получается, если решать другим способом то будет:
\[S = \frac{1}{2}a \sqrt{a^2 + h^2} \to a = \frac{2S}{\sqrt{a^2 + h^2}}\] \[S_{бок} = 3ah = \frac{6S}{\sqrt{a^2 + h^2}}h = \frac{6S}{\sqrt{1 + a^2/h^2}}\] \[cos(a) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{\sqrt{a^2 + h^2}} = \frac{\sqrt{3}a}{2\sqrt{a^2 + h^2}} \to \sqrt{a^2 + h^2} = \frac{\sqrt{3}a}{2cos(a)}\] \[S = \frac{1}{2}a\frac{\sqrt{3}a}{2cos(a)} = \frac{\sqrt{3}a^2}{4cos(a)} \to a^2 = \frac{4S cos(a)}{\sqrt{3}}\] \[P = 3a = 3\sqrt{\frac{4S cos(a)}{\sqrt{3}}}\] \[h = \sqrt{\frac{3a^2}{4cos^2(a)} - a^2} = \sqrt{\frac{3 - 4cos^2(a)}{4cos^2(a)}a^2} = a\sqrt{\frac{3 - 4cos^2(a)}{4cos^2(a)}}\] \[S_{бок} = 3ah = 3a^2\sqrt{\frac{3 - 4cos^2(a)}{4cos^2(a)}} = \frac{6S}{\sqrt{3}}\cdot \sqrt{\frac{3 - 4cos^2(a)}{4cos^2(a)}}\]
Ответ: \(\frac{6S}{\sqrt{3}}\cdot \cos{\alpha}\)
Математик-виртуоз! Ты как Цифровой атлет, умело оперируешь формулами.
Сэкономил время — спас вечер. Иди чиллить, ты это заслужил
Выручи свою тиму — отправь ссылку другу. Карма +100 обеспечена
