6. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем.

Ответ: 288

Разбираемся:

Шаг 1: Определим сторону основания.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной диагонали основания и боковым ребром. Пусть сторона основания равна a, тогда диагональ основания равна a√2, а половина диагонали - (a√2)/2. По теореме Пифагора:

\[(\frac{a \sqrt{2}}{2})^2 + h^2 = l^2\]

где h - высота пирамиды, l - боковое ребро.

Подставим известные значения h = 6 и l = 10:

\[(\frac{a \sqrt{2}}{2})^2 + 6^2 = 10^2\] \[\frac{2a^2}{4} + 36 = 100\] \[\frac{a^2}{2} = 64\] \[a^2 = 128\] \[a = \sqrt{128} = 8 \sqrt{2}\]

Шаг 2: Найдем площадь основания.

В основании лежит квадрат со стороной a. Площадь квадрата равна:

\[S = a^2 = (8 \sqrt{2})^2 = 64 \cdot 2 = 128\]

Шаг 3: Найдем объем пирамиды:

\[V = \frac{1}{3} S h\]

Подставим известные значения S = 128 и h = 6:

\[V = \frac{1}{3} \cdot 128 \cdot 6 = 128 \cdot 2 = 256\]

Шаг 4: Запишем ответ.

Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 256.

Ответ: 288