В правильной четырехугольной пирамиде SABCD диагональ АС=24, высота пирамиды SO=5. Найдите: а) боковое ребро пирамиды, б) объем пирамиды, в) площадь поверхности пирамиды?

а) Боковое ребро пирамиды:

1. Диагональ основания AC = 24. Половина диагонали AO = 24 / 2 = 12.
2. В прямоугольном треугольнике AOS (SO - высота, AO - половина диагонали, AS - боковое ребро), по теореме Пифагора: AS² = SO² + AO² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169.
3. AS = √169 = 13.

б) Объем пирамиды:

1. Диагональ квадрата основания AC = 24. Сторона квадрата a = AC / √2 = 24 / √2 = 12√2.
2. Площадь основания Sосн = a² = (12√2)² = 144 * 2 = 288.
3. Объем пирамиды V = (1/3) * Sосн * SO = (1/3) * 288 * 5 = 96 * 5 = 480.

в) Площадь поверхности пирамиды:

1. Площадь боковой поверхности состоит из 4 одинаковых треугольников. Найдем апофему (высоту боковой грани) KP. В прямоугольном треугольнике SOK (SO=5, OK=a/2=6√2), апофема SK² = SO² + OK² = 5² + (6√2)² = 25 + 72 = 97. SK = √97.
2. Площадь одной боковой грани Sгр = (1/2) * a * SK = (1/2) * 12√2 * √97 = 6√194.
3. Площадь боковой поверхности Sбок = 4 * Sгр = 4 * 6√194 = 24√194.
4. Полная площадь поверхности S = Sосн + Sбок = 288 + 24√194.