В правильном тетраэдре DABC с ребром а точка О — центр треугольника ABC. а) Постройте вектор − 1 2 DA и найдите его длину. − 1 2 DB – б) Найдите |DA + AC – OC|.

Решение:

а) Построение вектора:

Вектор −\(\frac{1}{2}\) \(\vec{DA}\) имеет то же направление, что и \(\vec{DA}\), но в два раза меньшую длину. Для его построения нужно взять середину отрезка \(DA\) и соединить её с точкой \(D\).

Вектор −\(\frac{1}{2}\) \(\vec{DB}\) имеет то же направление, что и \(\vec{DB}\), но в два раза меньшую длину. Для его построения нужно взять середину отрезка \(DB\) и соединить её с точкой \(D\).

Длина вектора:

В правильном тетраэдре все рёбра равны \(a\). Следовательно, \(DA = DB = a\).

Длина вектора −\(\frac{1}{2}\) \(\vec{DA}\) равна \(\frac{1}{2} \cdot DA = \frac{1}{2} a\).

Длина вектора −\(\frac{1}{2}\) \(\vec{DB}\) равна \(\frac{1}{2} \cdot DB = \frac{1}{2} a\).

б) Нахождение длины вектора |\(\vec{DA}\) + \(\vec{AC}\) – \(\vec{OC}\)|:

В правильном тетраэдре \(DABC\), \(O\) — центр треугольника \(ABC\). Это значит, что \(O\) — точка пересечения медиан треугольника \(ABC\).

\(\vec{DA}\) + \(\vec{AC}\) = \(\vec{DC}\)

\(\vec{OC}\) — вектор от центра треугольника \(ABC\) к вершине \(C\).

Вектор \(\vec{DA}\) + \(\vec{AC}\) – \(\vec{OC}\) = \(\vec{DC}\) – \(\vec{OC}\) = \(\vec{DC}\) + \(\vec{CO}\) = \(\vec{DO}\).

Следовательно, нужно найти длину вектора \(\vec{DO}\).

Высота правильного тетраэдра, опущенная из вершины \(D\) на основание \(ABC\), проходит через центр основания \(O\).

Пусть \(M\) — середина ребра \(BC\). Тогда \(AM\) — медиана треугольника \(ABC\).

В равностороннем треугольнике \(ABC\) со стороной \(a\), медиана \(AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}\).

Точка \(O\) делит медиану \(AM\) в отношении 2:1, считая от вершины \(A\). Следовательно, \(AO = \frac{2}{3} AM = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(DOA\). \(DA = a\), \(AO = \frac{a\sqrt{3}}{3}\).

По теореме Пифагора, \(DO^2 + AO^2 = DA^2\).

\(DO^2 = DA^2 - AO^2 = a^2 - (\frac{a\sqrt{3}}{3})^2 = a^2 - \frac{3a^2}{9} = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}\).

\(DO = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = a\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}\).

Ответ: а) Длина вектора −\(\frac{1}{2}\) \(\vec{DA}\) равна \(\frac{1}{2}a\); б) |\(\vec{DA}\) + \(\vec{AC}\) – \(\vec{OC}\)| = \(\frac{a\sqrt{6}}{3}\).