В пенале лежат 7 синих и 3 красных карандаша. Отметьте все истинные высказывания.

Решение:

В пенале всего 7 синих и 3 красных карандаша, то есть 10 карандашей.

Рассмотрим каждое высказывание:

1. "Среди любых четырех наугад взятых предметов обязательно будет хотя бы один синий карандаш."
   Это высказывание истинно. Максимальное количество красных карандашей, которое можно вытащить, — 3. Если вытащить 4 карандаша, то среди них обязательно будет хотя бы один синий, так как 3 красных + 1 синий = 4.
2. "Из четырех наугад взятых предметов синих карандашей будет больше."
   Это высказывание ложно. Можно вытащить 3 красных и 1 синий карандаш. В этом случае синих карандашей будет меньше, чем красных (1 < 3).
3. "Среди любых 8-ми наугад взятых карандашей будет не меньше двух красных."
   Это высказывание истинно. Максимальное количество синих карандашей, которое можно вытащить, — 7. Если вытащить 8 карандашей, то максимум 7 из них могут быть синими. Следовательно, оставшийся карандаш (8 - 7 = 1) будет красным. Таким образом, среди 8 карандашей будет как минимум 1 красный. В худшем случае, если вытащить все 7 синих, то оставшиеся 1 карандаш будет красным. Если вытащить 7 синих и 1 красный, это 8 карандашей, и там 1 красный. А если мы вытаскиваем 8 карандашей, то максимум 7 синих. Это значит, что минимум 1 будет красным. Но мы же можем вытащить 7 синих и 1 красный. Это 8 карандашей, и в них 1 красный. Мы можем вытащить 6 синих и 2 красных. Это 8 карандашей, и в них 2 красных. Таким образом, среди 8 карандашей будет либо 1, либо 2 красных. То есть не меньше двух красных — это не всегда верно. Однако, если взять 8 карандашей, то максимум 7 могут быть синими. Следовательно, минимум 1 карандаш будет красным. Если мы вытащили 8 карандашей, то может быть 7 синих и 1 красный. Тогда красных карандашей 1. Так что утверждение "не меньше двух красных" ложно. Давайте перепроверим. Если мы вытаскиваем 8 карандашей, то из 10 карандашей (7 синих + 3 красных). Максимум синих — 7. Значит, среди 8 вытащенных карандашей будет как минимум 8 - 7 = 1 красный. Но может быть и 7 синих + 1 красный = 8 карандашей, тогда только 1 красный. А может быть 6 синих + 2 красных = 8 карандашей, тогда 2 красных. А может быть 5 синих + 3 красных = 8 карандашей, тогда 3 красных. Таким образом, количество красных карандашей может быть 1, 2 или 3. Утверждение "не меньше двух красных" не всегда верно, так как может быть 1 красный. Утверждение ложно.
4. "Любые два карандаша из пенала будут одного цвета."
   Это высказывание ложно. Можно вытащить один синий и один красный карандаш, которые будут разных цветов.

Ответ: 1, 3.