В параллелограмме MFKS диагонали перпендикулярны, FS = 45, ∠FSM = 60°. Найдите периметр параллелограмма.

Решение:

В параллелограмме MFKS диагонали перпендикулярны. Это означает, что параллелограмм является ромбом.

В ромбе диагонали являются биссектрисами углов.

По условию, \( FS = 45 \) — это одна из диагоналей ромба.

Угол \( \angle FSM = 60^{\circ} \). Так как диагонали ромба являются биссектрисами углов, то угол \( \angle FSN = \angle FSM = 60^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник \( Δ FSN \). В этом треугольнике \( Δ FSN \) — прямоугольный, так как диагонали ромба перпендикулярны. Угол \( Δ FSN = 90^{\circ} \).

Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \). Значит, \( Δ SFN = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике \( Δ FSN \) катет, лежащий против угла в \( 30^{\circ} \), равен половине гипотенузы. Сторона \( SN \) лежит против угла \( Δ FSN = 30^{\circ} \), а гипотенуза — это сторона ромба \( FS \).

Следовательно, \( SN = \frac{1}{2} FS = \frac{1}{2} \cdot 45 = 22.5 \).

В ромбе диагонали точкой пересечения делятся пополам. Значит, \( MN = NS = 22.5 \) и \( FK = 2 · FN \).

Рассмотрим \( Δ FSN \). Используем теорему Пифагора: \( FS^2 = FN^2 + SN^2 \).

\( 45^2 = FN^2 + 22.5^2 \)

\( 2025 = FN^2 + 506.25 \)

\( FN^2 = 2025 - 506.25 = 1518.75 \)

\( FN = √{1518.75} \approx 38.97 \).

Длина второй диагонали \( MK = 2 · FN = 2 · 38.97 \approx 77.94 \).

Периметр ромба равен \( P = 4 · FS = 4 · 45 = 180 \).

Ответ: Периметр параллелограмма равен 180.