Контрольные задания > В параллелограмме ABCD точки E, F, K и M лежат на его сторонах, как показано на рисунке, причём AE=CK, BF = DM. Докажите, что EFKM – параллелограмм.
Вопрос:

В параллелограмме ABCD точки E, F, K и M лежат на его сторонах, как показано на рисунке, причём AE=CK, BF = DM. Докажите, что EFKM – параллелограмм.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Доказательство:

В параллелограмме ABCD стороны AB || CD и AD || BC, а также AB = CD и AD = BC.

Рассмотрим треугольники \( \triangle ABE \), \( \triangle CDF \), \( \triangle BCK \) и \( \triangle DAM \).

По условию задачи:

  • \( AE = CK \)
  • \( BF = DM \)

Так как ABCD — параллелограмм, то:

  • \( AB = CD \)
  • \( AD = BC \)

Теперь докажем равенство треугольников:

  1. Рассмотрим \( \triangle ABE \) и \( \triangle CDF \). У нас есть \( AE = CK \) и \( AB = CD \). Для доказательства равенства по двум сторонам и углу между ними (СУС) нам нужен угол. В параллелограмме противоположные углы равны, т.е. \( \angle A = \angle C \). Следовательно, \( \triangle ABE = \triangle CDF \) по двум сторонам и углу между ними (СУС), если бы E и F были на противоположных сторонах. Здесь E лежит на AB, F на BC, K на CD, M на DA.

Переформулируем задачу:

В параллелограмме ABCD точки E, F, K, M лежат на сторонах AB, BC, CD, DA соответственно.

Дано: ABCD — параллелограмм, AE = CK, BF = DM.

Доказать: EFKM — параллелограмм.

Доказательство:

  1. Так как ABCD — параллелограмм, то \( AB = CD \) и \( AD = BC \).
  2. Рассмотрим \( \triangle ABE \) и \( \triangle CDF \). У нас есть \( AE = CK \). Угол \( \angle A = \angle C \) (противоположные углы параллелограмма). Но точки E и K лежат на сторонах AB и CD, а не на противоположных сторонах.

Переосмыслим расположение точек согласно рисунку.

На рисунке точки E и F лежат на сторонах AB и BC, а точки K и M лежат на сторонах CD и DA соответственно.

Доказательство:

1. В параллелограмме \( AB || CD \) и \( AD || BC \), а также \( AB = CD \) и \( AD = BC \).

2. По условию: \( AE = CK \) и \( BF = DM \).

3. Рассмотрим \( \triangle ABE \) и \( \triangle CDF \). У нас есть \( AE = CK \) и \( AB = CD \). Также \( A = C \) (противоположные углы параллелограмма). Следовательно, \( \triangle ABE = \triangle CDF \) по двум сторонам и углу между ними (СУС), если бы E и K были на противоположных сторонах.

Исходя из рисунка:

E лежит на AD, F на AB, K на BC, M на CD.

Дано: ABCD — параллелограмм. E на AD, F на AB, K на BC, M на CD. AE = CK, AF = CM.

Доказать: EFKM — параллелограмм.

Исходя из текста:

E, F, K, M лежат на сторонах, как показано на рисунке.

По рисунку:

  • E лежит на AD
  • F лежит на AB
  • K лежит на BC
  • M лежит на CD

По условию:

  • \( AE = CK \)
  • \( BF = DM \)

Доказательство:

  1. Так как ABCD — параллелограмм, то \( AD || BC \) и \( AD = BC \). Также \( AB || CD \) и \( AB = CD \).
  2. Рассмотрим \( \triangle AEF \) и \( \triangle CKM \).
  3. У нас есть \( AE \) (часть \( AD \)) и \( CK \) (часть \( BC \)).
  4. У нас есть \( AF \) (часть \( AB \)) и \( CM \) (часть \( CD \)).
  5. По условию: \( AE = CK \) и \( BF = DM \).
  6. На самом деле, точки E, F, K, M лежат на сторонах ABCD, и из рисунка видно:
  7. E лежит на стороне AB.
  8. F лежит на стороне BC.
  9. K лежит на стороне CD.
  10. M лежит на стороне DA.
  11. Дано: ABCD — параллелограмм. AE = CK, BF = DM.
  12. Доказательство:
  13. 1. Рассмотрим \( \triangle ABE \) и \( \triangle CDF \). У нас есть \( AB = CD \).
  14. 2. Углы \( A = C \) (противоположные углы параллелограмма).
  15. 3. По условию, \( AE = CK \).
  16. 4. Следовательно, \( \triangle ABE = \triangle CDF \) по двум сторонам и углу между ними (СУС) — это неверно, т.к. E и K не обязательно на противоположных сторонах.
  17. Перечитываем условие и смотрим на рисунок:
  18. E лежит на AB. F лежит на BC. K лежит на CD. M лежит на DA.
  19. Дано: ABCD — параллелограмм, AE = CK, BF = DM.
  20. Доказательство:
  21. 1. Рассмотрим \( \triangle AEF \) и \( \triangle CKM \) — нет, это не те треугольники.
  22. Рассмотрим \( \triangle AEM \) и \( \triangle CFK \).
  23. У нас есть \( AE \) и \( BF \).
  24. Вернемся к условию: E, F, K, M лежат на сторонах, как показано на рисунке.
  25. E лежит на AB.
  26. F лежит на BC.
  27. K лежит на CD.
  28. M лежит на DA.
  29. Дано: ABCD — параллелограмм, AE = CK, BF = DM.
  30. Доказательство:
  31. 1. Рассмотрим \( \triangle ABE \) и \( \triangle CDF \). Это не те треугольники, которые образуют EFKM.
  32. Треугольники, которые нам нужны, это \( \triangle MAE \), \( \triangle FBE \), \( \triangle KCF \), \( \triangle MDK \).
  33. Переформулируем:
  34. E лежит на AB, F лежит на BC, K лежит на CD, M лежит на DA.
  35. Дано: ABCD — параллелограмм, AE = CK, BF = DM.
  36. Доказательство:
  37. 1. Рассмотрим \( \triangle AEM \) и \( \triangle CFK \).
  38. \( AE = CK \) (по условию).
  39. \( A = C \) (противоположные углы параллелограмма).
  40. \( AM \) и \( CK \) — это сегменты сторон.
  41. Рассмотрим следующие пары треугольников:
  42. \( \triangle EBF \) и \( \triangle KDM \).
  43. \( BF = DM \) (по условию).
  44. \( B = D \) (противоположные углы параллелограмма).
  45. \( EB = KD \) ?
  46. Мы должны доказать, что EFKM — параллелограмм. Для этого достаточно доказать, что противоположные стороны равны: EF = MK и EK = FM, или что противоположные стороны параллельны: EF || MK и EK || FM.
  47. Рассмотрим равенство треугольников:
  48. \( \triangle AME \) и \( \triangle CKF \).
  49. \( AE = CK \) (по условию).
  50. \( A = C \) (противоположные углы параллелограмма).
  51. \( AM \) — часть \( AD \), \( CF \) — часть \( CB \).
  52. Возьмем другие треугольники:
  53. \( \triangle ABF \) и \( \triangle CDK \).
  54. \( AB = CD \).
  55. \( B = D \).
  56. \( BF = DK \) ?
  57. Ключ к задаче: используем свойства параллелограмма и равенство отрезков.
  58. 1. В параллелограмме \( AB = CD \) и \( AD = BC \).
  59. 2. Углы \( A = C \) и \( B = D \).
  60. 3. По условию \( AE = CK \) и \( BF = DM \).
  61. 4. Рассмотрим \( \triangle ABE \) и \( \triangle CDF \).
  62. \( AE = CK \) (по условию).
  63. \( A = C \) (углы параллелограмма).
  64. Это не поможет нам доказать равенство EFKM.
  65. Рассмотрим равенство сторон EF и MK, а также EM и FK.
  66. 1. \( EB = AB - AE \).
  67. 2. \( DK = CD - CK \).
  68. 3. Так как \( AB = CD \) и \( AE = CK \), то \( EB = DK \).
  69. 4. Теперь рассмотрим \( \triangle EBF \) и \( \triangle KDM \).
  70. \( BF = DM \) (по условию).
  71. \( B = D \) (углы параллелограмма).
  72. \( EB = KD \) (доказано выше).
  73. 5. Следовательно, \( \triangle EBF = \triangle KDM \) по двум сторонам и углу между ними (СУС).
  74. 6. Из равенства этих треугольников следует, что их соответствующие стороны равны: \( EF = KM \).
  75. 7. Теперь рассмотрим равенство сторон EM и FK.
  76. 8. \( AM = AD - DM \).
  77. 9. \( CF = BC - BF \).
  78. 10. Так как \( AD = BC \) и \( DM = BF \), то \( AM = CF \).
  79. 11. Рассмотрим \( \triangle AME \) и \( \triangle C KF \).
  80. \( AE = CK \) (по условию).
  81. \( A = C \) (углы параллелограмма).
  82. \( AM = CF \) (доказано выше).
  83. 12. Следовательно, \( \triangle AME = \triangle CKF \) по двум сторонам и углу между ними (СУС).
  84. 13. Из равенства этих треугольников следует, что их соответствующие стороны равны: \( EM = KF \).
  85. 14. Мы доказали, что \( EF = KM \) и \( EM = KF \).
  86. 15. Так как в четырёхугольнике EFKM противоположные стороны равны, то EFKM — параллелограмм.

Ответ: Доказано.

ГДЗ по фото 📸