В параллелограмме ABCD точка Е — середина стороны CD. Известно, что ЕА = ЕВ. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

Доказательство:

1. Т.к. Е - середина CD, то CE = ED.
2. Т.к. EA = EB по условию, треугольник AEB - равнобедренный.
3. Т.к. ABCD - параллелограмм, то AB || CD, а значит, углы AEB и DEC - накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей AE. Следовательно, ∠AEB = ∠DEC. Аналогично, ∠BAE = ∠CEB.
4. Т.к. EA = EB, то ∠EAB = ∠EBA. Т.к. ∠AEB = ∠DEC и ∠BAE = ∠CEB, то ∠DEC = ∠CEB.
5. Сумма смежных углов равна 180°, а т.к. ∠DEC = ∠CEB, то ∠DEC = ∠CEB = 90°.
6. Т.к. ABCD - параллелограмм и один из его углов прямой, то ABCD - прямоугольник.

Ответ: Доказано.