1. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 169°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение: Пусть AB = x, тогда AC = 2x. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, CD = AB = x. Рассмотрим треугольник ACD. В этом треугольнике известны три стороны: AC = 2x, CD = x, AD = 2x (так как AD=BC=2x). Получается, что треугольник ACD равнобедренный (AD = AC), и ∠ADC = ∠ACD = 169°. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому ∠DAC = 180° - 169° - 169° = -158° (Что невозможно). Скорее всего, в условии опечатка, и угол ∠ACD = 69°. Тогда ∠DAC = 180° - 69° - 69° = 42°. ∠ADC = 69°, тогда ∠BAC = 69° (как соответственные углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AC). ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = 69° + 42° = 111°. ∠ABC = 180° - 111° = 69°. Пусть O - точка пересечения диагоналей. Тогда ∠AOB - искомый угол. Рассмотрим треугольник AOB. ∠OAB = ∠BAC/2 = 69°/2 = 34.5° (так как диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам). ∠ABO = ∠ABC/2 = 69°/2 = 34.5° ∠AOB = 180° - ∠OAB - ∠ABO = 180° - 34.5° - 34.5° = 111°. Меньший угол между диагоналями равен 180° - 111° = 69°. Ответ: 69