6. В параллелограмме ABCD биссектриса угла А, равного 60°, пересекает сторону ВС в точке М. Отрезки АМ и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если АВ = 5. Запишите решение и ответ.

Дано: ABCD - параллелограмм, ∠A = 60°, AM - биссектриса ∠A, AM ⊥ DM, AB = 5.

Найти: P(ABCD).

Решение:

Так как AM - биссектриса ∠A, то ∠BAM = ∠MAD = 60°/2 = 30°.

Рассмотрим треугольник AMD. Так как AM ⊥ DM, то ∠AMD = 90°. Следовательно, ∠MDA = 180° - ∠AMD - ∠MAD = 180° - 90° - 30° = 60°.

Рассмотрим треугольник ABM. Так как ABCD - параллелограмм, то BC || AD. Следовательно, ∠BMA = ∠MAD = 30° как накрест лежащие углы.

Таким образом, в треугольнике ABM: ∠BAM = ∠BMA = 30°. Следовательно, треугольник ABM - равнобедренный, и AB = BM = 5.

Рассмотрим треугольник AMD. Так как ∠MAD = 30° и ∠MDA = 60°, то треугольник AMD - прямоугольный с углом 30°. Следовательно, AM = AD/2, или AD = 2 * AM.

Так как AM ⊥ DM, то ∠AMD = 90°. Тогда, используя теорему о сумме углов в треугольнике AMD, получим ∠MAD + ∠MDA = 90°, то есть 30° + 60° = 90°.

Треугольник AMD - прямоугольный. AD = 2 * AB = 10

Сторона AD = BC = BM + MC = 2 * BM = 10

Периметр параллелограмма ABCD равен: P = 2 * (AB + AD) = 2 * (5 + 10) = 2 * 15 = 30.

Ответ: 30