В параллелограмме ABCD AB = 8 см, ВС = 12 см. Точки K и E лежат соответственно на сторонах ВС и СД так, что СК = 3 см, СЕ = 2 см. Отрезок КЕ пересекает диагональ АС в точке Р. Найдите отношение АР к РС.

Решение:

В параллелограмме ABCD стороны противоположны: \( AB = CD = 8 \) см, \( BC = AD = 12 \) см. Точка \( K \) лежит на стороне \( BC \), значит \( BK = BC - CK = 12 - 3 = 9 \) см. Точка \( E \) лежит на стороне \( CD \), значит \( DE = CD - CE = 8 - 2 = 6 \) см.

Рассмотрим треугольники \( \triangle BKE \) и \( \triangle DPE \).

Так как \( ABCD \) — параллелограмм, то \( BC \parallel AD \) и \( CD \parallel AB \). Следовательно, \( \angle KBP = \angle EDP \) (как накрест лежащие углы при параллельных прямых \( AB \) и \( CD \) и секущей \( BD \)), и \( \angle BKP \) и \( \angle DEP \) являются накрест лежащими углами при параллельных прямых \( BC \) и \( AD \) и секущей \( BD \).

Рассмотрим треугольники \( \triangle PKE \) и \( \triangle PAE \).

В параллелограмме \( AB \parallel CD \) и \( BC \parallel AD \).

Рассмотрим \( \triangle AB P \) и \( \triangle CEP \).

\( \angle BAP = \angle PCE \) (накрест лежащие углы при \( AB \parallel CD \) и секущей \( AC \)).

\( \angle ABP = \angle CDP \) (накрест лежащие углы при \( BC \parallel AD \) и секущей \( BD \)).

В параллелограмме \( AB \parallel CD \), значит \( \angle PAB = \angle PCD \) (как накрест лежащие углы при параллельных прямых \( AB \) и \( CD \) и секущей \( AC \)).

\( \angle PKC = \angle CEP \) (накрест лежащие углы при \( BC \parallel AD \) и секущей \( KE \)).

Рассмотрим \( \triangle PKE \) и \( \triangle PDC \).

\( \angle KPE = \angle CPD \) (вертикальные углы).

\( \angle PKC = \angle PCD \) (накрест лежащие углы при \( BC \parallel AD \) и секущей \( AC \)).

\( \angle PKB = \angle PED \) (накрест лежащие углы при \( BC \parallel AD \) и секущей \( KE \)).

Рассмотрим \( \triangle KPC \) и \( \triangle EPA \).

\( \angle KPC = \angle EPA \) (вертикальные углы).

\( \angle PCK = \angle PAE \) (накрест лежащие углы при \( CD \parallel AB \) и секущей \( AC \)).

\( \angle PKC = \angle PAE \) (накрест лежащие углы при \( BC \parallel AD \) и секущей \( KE \)).

Рассмотрим \( \triangle KBC \) и \( \triangle DEC \).

Рассмотрим \( \triangle BK P \) и \( \triangle DEP \).

\( \angle BKP = \angle DEP \) (накрест лежащие при \( BC \parallel AD \) и секущей \( KE \)).

\( \angle KBP = \angle EDP \) (накрест лежащие при \( AB \parallel CD \) и секущей \( BD \)).

\( \angle BPK = \angle DPE \) (вертикальные углы).

Следовательно, \( \triangle BK P \sim \triangle DEP \) по двум углам.

Тогда \( \frac{BP}{DP} = \frac{KP}{EP} = \frac{BK}{DE} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \).

Теперь рассмотрим \( \triangle AB P \) и \( \triangle CEP \).

\( \angle BAP = \angle PCE \) (накрест лежащие углы при \( AB \parallel CD \) и секущей \( AC \)).

\( \angle ABP = \angle CDP \) (накрест лежащие углы при \( BC \parallel AD \) и секущей \( BD \)).

\( \angle APB = \angle CPE \) (вертикальные углы).

Следовательно, \( \triangle ABP \sim \triangle CEP \) по трем углам.

Из подобия следует отношение сторон:

\( \frac{AP}{CP} = \frac{BP}{DP} = \frac{AB}{CE} \).

Мы знаем, что \( AB = 8 \) см и \( CE = 2 \) см.

Значит, \( \frac{AP}{CP} = \frac{8}{2} = 4 \).

Таким образом, отношение \( AP \) к \( PC \) равно 4.

Ответ: 4.