В остроугольном треугольнике ВЕХ проведены высоты ВВ1 и ЕЕ1. Докажите, что углы ВВ1Е1 и ВЕЕ1 равны.

Решение:

Рассмотрим четырёхугольник ВЕ₁ЕB₁. Так как ВВ₁ и ЕЕ₁ — высоты, то \( \angle BE_{1}B = 90^{\circ} \) и \( \angle B E_{1}E = 90^{\circ} \). Следовательно, точки Е₁ и Е лежат на окружности с диаметром ВВ₁.

Аналогично, \( \angle B_{1}E B = 90^{\circ} \) и \( \angle B_{1}E_{1} B = 90^{\circ} \). Это означает, что точки B₁ и E₁ лежат на окружности с диаметром ВЕ.

Рассмотрим четырёхугольник ВВ₁Е₁Е. Углы \( \angle B V_{1} E = 90^{\circ} \) и \( \angle B E_{1} E = 90^{\circ} \). Сумма противоположных углов равна \( 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} \). Следовательно, четырёхугольник ВВ₁Е₁Е вписан в окружность.

Вписанные углы \( \angle BB_{1}E_{1} \) и \( \angle BEE_{1} \) опираются на одну дугу ВЕ₁.

Согласно свойству вписанных углов, углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

Следовательно, \( \angle BB_{1}E_{1} = \angle BEE_{1} \).

Доказано.