В остроугольном треуголь- нике MNK из точки D - - се- редины стороны МК - про- ведены перпендикуляры DA и DB к сторонам MN и №К. Докажите, что если ZADM = ∠BDK, то треуголь- ник МПК равнобедренный.

Ответ: доказательство в решении.

1. Рассмотрим рисунок. Пусть углы \[\angle ADM\] и \[ \angle BDK\] равны.

2. Рассмотрим треугольники ADM и BDK. В них:

   • \( \angle ADM = \angle BDK\) (по условию)
   • \( \angle DAM = \angle DBK = 90^{\circ}\) (так как DA и DB - перпендикуляры)
   • DM = DK (так как D - середина MK)

   Следовательно, \(\triangle ADM = \triangle BDK\) по стороне и двум прилежащим углам.

3. Из равенства треугольников следует, что AM = BK.

4. Пусть MH и KL - высоты треугольника MNK. Тогда \(\triangle MHN\) и \(\triangle KLN\) - прямоугольные.

5. Рассмотрим треугольники MHN и KLN. Пусть \(\angle N\) - общий. Тогда: \[\angle HMN = 90^{\circ} - \angle N = \angle LKN\]

6. Следовательно, \(\triangle MHN \sim \triangle KLN\) по двум углам.

7. Из подобия треугольников следует, что: \[\frac{MN}{KN} = \frac{MH}{KL}\]

8. Заметим, что MH = MA + AH и KL = KB + BL. Так как AM = BK, то AH = BL.

9. Теперь рассмотрим треугольники AHN и BLN. В них:

   • \( \angle AHN = \angle BLN = 90^{\circ}\)
   • AH = BL (доказано выше)
   • \( \angle HNA = \angle LNB\) (как вертикальные)

   Следовательно, \(\triangle AHN = \triangle BLN\) по стороне и двум прилежащим углам.

10. Из равенства треугольников следует, что AN = BN. Таким образом, треугольник ANB - равнобедренный.

11. Так как AN = BN и AM = BK, то MN = KN. Следовательно, треугольник MNK - равнобедренный.

Ответ: доказательство в решении.