В остроугольном треугольнике ABC длины медианы AM и высоты BH равны, а ∠ABH = ∠BAM. Докажите, что треугольник ABC равносторонний.

Обозначим через X точку пересечения отрезков AM и BH.

Так как ∠ABH = ∠BAM, а углы AXB и BXH — вертикальные, треугольники AXH и BXM подобны по двум углам.

Из подобия следует соответствие сторон:

\(\dfrac{AX}{BX}=\dfrac{HX}{MX}\).

Медиана и высота равны: \(AM=BH\). Поэтому

\(AX+XM=BX+XH\).

Из подобия также получаем равенство соответствующих отрезков \(AX=BX\) и \(HX=MX\). Следовательно, точка \(X\) является серединой отрезков \(AM\) и \(BH\).

Значит, треугольники \(AXH\) и \(BXM\) равны по первому признаку равенства треугольников: у них равны две стороны и угол между ними.

Отсюда соответствующие углы равны:

\(\angle XAH=\angle XBM\).

Так как \(A,X,M\) лежат на одной прямой, а \(B,X,H\) — на одной прямой, то

\(\angle XAH=\angle BAM\), \(\angle XBM=\angle ABH\).

Следовательно, высота \(BH\) совпадает с биссектрисой угла \(B\). Поскольку высота проведена из вершины \(B\), она одновременно является медианой и биссектрисой. Поэтому \(AB=BC\).

Аналогично из равенства соответствующих элементов следует \(AB=AC\). Значит, все стороны треугольника равны:

\(AB=BC=CA\).

Ответ: треугольник ABC равносторонний.