Контрольные задания > В основании прямой призмы АВСА1В1С1 лежит треугольник АВС со сторонами АВ = ВС, AC = 2√7. На ребе ВВ1 выбрана точка К так, что ВК: В₁К = 9: 5. Угол между плоскостями АВС и АКС равен 45°. а) Докажите, что расстояние между прямыми АВ и А1С1 равно боковому ребру призмы. 6) Найдите расстояние между прямыми АВ и А1С1, если КС = 13.
Вопрос:

В основании прямой призмы АВСА1В1С1 лежит треугольник АВС со сторонами АВ = ВС, AC = 2√7. На ребе ВВ1 выбрана точка К так, что ВК: В₁К = 9: 5. Угол между плоскостями АВС и АКС равен 45°. а) Докажите, что расстояние между прямыми АВ и А1С1 равно боковому ребру призмы. 6) Найдите расстояние между прямыми АВ и А1С1, если КС = 13.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Привет! Разбираемся с геометрией, чтобы всё стало понятно.

а) Доказательство:

  • Предположим, что высота призмы равна h.
  • Т.к. призма прямая, то боковые ребра перпендикулярны основанию.
  • Расстояние между прямыми АВ и А₁С₁ равно высоте призмы, что и требовалось доказать.

б) Найдём расстояние между прямыми АВ и А₁С₁, если КС = 13.

Краткое пояснение: Сначала найдём сторону основания и высоту призмы, а затем и искомое расстояние.

Пошаговое решение:

  1. Треугольник АВС равнобедренный, поэтому высота ВН является и медианой. Тогда АН = НС = √7.
  2. По теореме Пифагора для треугольника АВН:
    \[ AB = \sqrt{AH^2 + BH^2} \]
  3. Пусть АВ = х, тогда \( BH = \sqrt{x^2 - 7} \).
  4. Рассмотрим треугольник КСВ:
    \[ KC^2 = KB^2 + BC^2 \]
  5. Т.к. ВК : В₁К = 9 : 5, то \( BK = \frac{9}{14}h \).
  6. Подставим известные значения:
    \[ 13^2 = \left(\frac{9}{14}h\right)^2 + x^2 \]
  7. Выразим h через x:
    \[ h = \frac{14}{9} \sqrt{169 - x^2} \]
  8. Угол между плоскостями АВС и АКС равен 45°. Это значит, что тангенс этого угла равен отношению высоты ВН к проекции КН на плоскость основания.
  9. \( KH = B_1B - KB = h - \frac{9}{14}h = \frac{5}{14}h \).
  10. Т.к. угол 45°, то \( tg(45°) = 1 \), и \( BH = KH \).
  11. Получаем уравнение:
    \[ \sqrt{x^2 - 7} = \frac{5}{14} \cdot \frac{14}{9} \sqrt{169 - x^2} \]
  12. Упростим:
    \[ \sqrt{x^2 - 7} = \frac{5}{9} \sqrt{169 - x^2} \]
  13. Возведём обе части в квадрат:
    \[ x^2 - 7 = \frac{25}{81} (169 - x^2) \]
  14. Умножим обе части на 81:
    \[ 81x^2 - 567 = 4225 - 25x^2 \]
  15. Соберём члены с x²:
    \[ 106x^2 = 4792 + 567 = 4792 \]
  16. Тогда:
    \[ x^2 = \frac{4792}{106} = 45.20 \]
  17. И \( x = \sqrt{45.20} \approx 6.72 \)
  18. Теперь найдём h:
    \[ h = \frac{14}{9} \sqrt{169 - 45.20} \]
  19. \( h = \frac{14}{9} \sqrt{123.8} \approx \frac{14}{9} \cdot 11.13 = 17.31 \)

Ответ: Расстояние между прямыми АВ и А₁С₁ равно приблизительно 17.31.

ГДЗ по фото 📸