В окружности с центром в точке O проведены диаметры AD и BC, угол AВО равен 55°. Найдите величину угла ODC.

Дано: Окружность с центром в точке O, AD и BC - диаметры, \(\angle ABO = 55^\circ\). Найти: \(\angle ODC\). Решение: 1. Так как AD и BC - диаметры, то OA = OB = OC = OD (радиусы окружности). 2. Рассмотрим треугольник AOB. Так как OA = OB, то треугольник AOB - равнобедренный. Следовательно, \(\angle OAB = \angle OBA = 55^\circ\). 3. Рассмотрим треугольник COD. Так как OC = OD, то треугольник COD - равнобедренный. Следовательно, \(\angle OCD = \angle ODC\). 4. Углы AOB и COD - вертикальные углы, а значит они равны. То есть, \(\angle AOB = \angle COD\). 5. В треугольнике AOB сумма углов равна 180°, следовательно, \(\angle AOB = 180^\circ - \angle OAB - \angle OBA = 180^\circ - 55^\circ - 55^\circ = 70^\circ\). 6. Так как \(\angle AOB = \angle COD\), то \(\angle COD = 70^\circ\). 7. В треугольнике COD сумма углов равна 180°, следовательно, \(\angle OCD + \angle ODC + \angle COD = 180^\circ\). Подставляем известные значения: \(\angle OCD + \angle ODC + 70^\circ = 180^\circ\). 8. Так как \(\angle OCD = \angle ODC\), то \(2 \cdot \angle ODC = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ\). 9. Следовательно, \(\angle ODC = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ\). Ответ: 55°.