В окружности с центром О проведены диаметры АС и BD. Угол AOD составляет 50°. Определите градусную меру угла АСВ.

Решение:

1. Угол \( AOD \) является центральным углом, который опирается на дугу \( AD \). Следовательно, градусная мера дуги \( AD \) равна градусной мере центрального угла \( AOD \), то есть \( 50^\circ \).

2. Углы \( AOD \) и \( BOC \) являются вертикальными, поэтому \( ∠ BOC = ∠ AOD = 50^\circ \).

3. Угол \( ACB \) является вписанным углом, который опирается на дугу \( AB \).

4. Так как \( AC \) и \( BD \) — диаметры, то дуга \( AB \) составляет половину окружности, если \( AB \) — диаметр. Однако, нам нужно найти дугу, на которую опирается угол \( ACB \).

5. Угол \( ACB \) опирается на дугу \( AB \). Дуга \( AB \) смежна с дугой \( AD \) и дугой \( BC \).

6. Дуга \( AB \) + дуга \( BC \) + дуга \( CD \) + дуга \( DA \) = \( 360^\circ \).

7. Так как \( AC \) и \( BD \) — диаметры, то дуга \( AD = BC = 50^\circ \) и дуга \( AB = CD \).

8. \( 2 ⋅ ∠ AOD + 2 ⋅ ∠ AOB = 360^\circ \) (центральные углы).

\( 2 ⋅ 50^\circ + 2 ⋅ ∠ AOB = 360^\circ \)

\( 100^\circ + 2 ⋅ ∠ AOB = 360^\circ \)

\( 2 ⋅ ∠ AOB = 260^\circ \)

\( ∠ AOB = 130^\circ \)

9. Угол \( ACB \) вписанный и опирается на дугу \( AB \). Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Дуга \( AB = 130^\circ \).

\( ∠ ACB = \frac{1}{2} ⋅ ∠ AOB = \frac{1}{2} ⋅ 130^\circ = 65^\circ \).

Ответ: 65.