В окружности проведены две хорды АВ и СД, пересекающиеся в точке К, КС = 6 см, АК = 8 см, ВК + DK = 28 см. Найдите произведение ВК и DK.

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о пересекающихся хордах. Согласно этой теореме, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. То есть, \( AK \cdot KB = CK \cdot KD \).

Из условия задачи нам известно:

• \( AK = 8 \) см
• \( KC = 6 \) см
• \( BK + DK = 28 \) см

Обозначим \( BK = x \) и \( DK = y \). Тогда у нас есть система уравнений:

1. \( x + y = 28 \)
2. \( 8 \cdot x = 6 \cdot y \)

Из второго уравнения выразим \( x \) через \( y \):

\( x = \frac{6y}{8} = \frac{3y}{4} \)

Подставим это выражение для \( x \) в первое уравнение:

\( \frac{3y}{4} + y = 28 \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{3y + 4y}{4} = 28 \)

\( \frac{7y}{4} = 28 \)

Теперь найдём \( y \):

\( y = \frac{28 \cdot 4}{7} = 4 \cdot 4 = 16 \) см

Теперь найдём \( x \), используя \( x = \frac{3y}{4} \):

\( x = \frac{3 \cdot 16}{4} = 3 \cdot 4 = 12 \) см

Итак, \( BK = 12 \) см и \( DK = 16 \) см.

Нам нужно найти произведение \( BK \) и \( DK \):

\( BK \cdot DK = 12 \text{ см} \cdot 16 \text{ см} = 192 \text{ см}^2 \)

Проверим по теореме о пересекающихся хордах:

\( AK \cdot BK = 8 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} = 96 \text{ см}^2 \)

\( KC \cdot DK = 6 \text{ см} \cdot 16 \text{ см} = 96 \text{ см}^2 \)

Произведения равны, значит, решение верное.

Ответ: 192 см².