В окружности проведены две хорды AB и CD, пересекающиеся в точке М. MB = 10 см, AM = 12 см, CD = 23 см. Найдите длины CM и DM, если известно, что CM < DM.

Решение:

Для решения задачи используем свойство пересекающихся хорд в окружности. Произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды:

\( AM \cdot MB = CM \cdot DM \)

Известно, что \( AM = 12 \) см, \( MB = 10 \) см. Следовательно, произведение отрезков хорды AB равно:

\( 12 \text{ см} \cdot 10 \text{ см} = 120 \text{ см}^2 \)

Теперь найдем произведение отрезков хорды CD:

\( CM \cdot DM = 120 \text{ см}^2 \)

Также известно, что длина хорды CD равна 23 см. Значит, \( CM + DM = 23 \) см.

У нас есть система уравнений:

1. \( CM \cdot DM = 120 \)
2. \( CM + DM = 23 \)

Из второго уравнения выразим \( DM \): \( DM = 23 - CM \).

Подставим это в первое уравнение:

\( CM \cdot (23 - CM) = 120 \)

\( 23 CM - CM^2 = 120 \)

\( CM^2 - 23 CM + 120 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120 = 529 - 480 = 49 \]

Найдем корни:

\[ CM_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{23 \pm 7}{2} \]

Получаем два возможных значения для \( CM \):

\[ CM_1 = \frac{23 + 7}{2} = \frac{30}{2} = 15 \text{ см} \]

\[ CM_2 = \frac{23 - 7}{2} = \frac{16}{2} = 8 \text{ см} \]

По условию задачи, \( CM \) меньше \( DM \).

Если \( CM = 15 \) см, то \( DM = 23 - 15 = 8 \) см. В этом случае \( CM > DM \), что противоречит условию.

Если \( CM = 8 \) см, то \( DM = 23 - 8 = 15 \) см. В этом случае \( CM < DM \), что соответствует условию задачи.

Ответ: CM = 8 см, DM = 15 см.