В окружность радиуса R с центром O вписан треугольник ABC (∠A = α < 90°). Вокруг треугольника ВОС описана окружность. Найдите ее радиус. (Указание: используйте формулу sin 2a = 2sin a cosa.)

Решение:

Смотри, тут всё просто! Нужно найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника BOC. Логика такая:

• ∠BOC = 2∠A (как центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол A)
• ∠BOC = 2α

Далее, используем теорему синусов для треугольника BOC:

\[\frac{BC}{\sin \angle BOC} = 2R'\]

где R' – радиус окружности, описанной вокруг треугольника BOC.

Выразим BC через радиус R описанной окружности треугольника ABC:

\[\frac{BC}{\sin A} = 2R\]

\[BC = 2R \sin A = 2R \sin \alpha\]

Подставим BC в первое уравнение:

\[\frac{2R \sin \alpha}{\sin 2\alpha} = 2R'\]

Используем формулу \(\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha\):

\[\frac{2R \sin \alpha}{2 \sin \alpha \cos \alpha} = 2R'\]

Упростим выражение:

\[\frac{R}{\cos \alpha} = 2R'\]

Выразим R':

\[R' = \frac{R}{2 \cos \alpha}\]

Ответ: \( R' = \frac{R}{2 \cos \alpha} \)