В окружность радиуса 25 вписана трапеция, основания которой равны 14 и 48, причем центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту этой трапеции.

Решение:

Пусть данная окружность имеет радиус \( R = 25 \). В неё вписана трапеция с основаниями \( a = 14 \) и \( b = 48 \). Центр окружности лежит внутри трапеции. Пусть \( h \) — высота трапеции.

Проведем перпендикуляры из вершин верхнего основания на нижнее. Эти перпендикуляры делят нижнее основание на три отрезка. Средний отрезок равен верхнему основанию, т.е. \( 14 \). Два крайних отрезка равны между собой, так как трапеция равнобедренная (иначе центр окружности не будет лежать внутри трапеции). Длина каждого крайнего отрезка равна \( \frac{48 - 14}{2} = \frac{34}{2} = 17 \).

Опустим высоту из одной из вершин верхнего основания на нижнее. Получим прямоугольный треугольник, катеты которого равны высоте трапеции \( h \) и одному из крайних отрезков нижнего основания ( \( 17 \) ). Гипотенуза этого треугольника — это хорда, которая является боковой стороной трапеции. Пусть \( c \) — длина боковой стороны трапеции. Тогда \( c^2 = h^2 + 17^2 \).

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные радиусом, проведённым к вершинам трапеции, и половинами оснований. Пусть \( y_1 \) и \( y_2 \) — расстояния от центра окружности до оснований. Высота трапеции \( h = y_1 + y_2 \). По теореме Пифагора для треугольников, образованных радиусом, половиной основания и расстоянием от центра до основания, получаем:

Для нижнего основания \( a=48 \): \( \left( \frac{48}{2} \right)^2 + y_2^2 = R^2 \) \( \implies 24^2 + y_2^2 = 25^2 \) \( \implies 576 + y_2^2 = 625 \) \( \implies y_2^2 = 625 - 576 = 49 \) \( \implies y_2 = 7 \).

Для верхнего основания \( b=14 \): \( \left( \frac{14}{2} \right)^2 + y_1^2 = R^2 \) \( \implies 7^2 + y_1^2 = 25^2 \) \( \implies 49 + y_1^2 = 625 \) \( \implies y_1^2 = 625 - 49 = 576 \) \( \implies y_1 = 24 \).

Так как центр окружности лежит внутри трапеции, то расстояние от центра до нижнего основания \( y_2 = 7 \) и расстояние от центра до верхнего основания \( y_1 = 24 \) складываются, чтобы получить высоту трапеции. Убедимся, что центр лежит внутри трапеции. Для этого нужно, чтобы \( y_1 \) и \( y_2 \) имели одинаковый знак относительно центра. Так как центр находится внутри трапеции, то он лежит между основаниями, поэтому мы складываем расстояния.

Высота трапеции \( h = y_1 + y_2 = 24 + 7 = 31 \).

Проверка:

Для нижнего основания \( \frac{48}{2} = 24 \). \( 24^2 + 7^2 = 576 + 49 = 625 = 25^2 \). Верно.

Для верхнего основания \( \frac{14}{2} = 7 \). \( 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2 \). Верно.

Ответ: 31