2. В одной системе координат схематически построить графики функций: y = log4 x и у = 4*. 3. Решить уравнение log2(x² + 4x) = -1. 4. Решить неравенство log, (2x-1)>log₁ (x+3). 2 2 5. Решить уравнение log3 (x-8)+log3x = 2. 6. Решить неравенство log2 (2x-3) >1. 7. Решить уравнение log₂² x-3log₂ x = 4.--

2. Построение графиков функций

Для построения графиков функций y = log₄(x) и y = 4ˣ, схематически изобразим их на одной координатной плоскости.

3. Решение уравнения log₂(x² + 4x) = -1

Шаг 1: Преобразуем уравнение, используя определение логарифма:

log₂(x² + 4x) = -1 ⇒ x² + 4x = 2⁻¹

Шаг 2: Упростим уравнение:

x² + 4x = 1/2 ⇒ 2x² + 8x - 1 = 0

Шаг 3: Решим квадратное уравнение через дискриминант:

D = 8² - 4 ⋅ 2 ⋅ (-1) = 64 + 8 = 72

x₁,₂ = (-8 ± √72) / (2 ⋅ 2) = (-8 ± 6√2) / 4 = -2 ± (3√2) / 2

Шаг 4: Проверим корни на область определения логарифма (x² + 4x > 0):

x₁ = -2 + (3√2) / 2 ≈ 0.121

x₂ = -2 - (3√2) / 2 ≈ -4.121

Проверка: x₁² + 4x₁ = (-2 + (3√2) / 2)² + 4(-2 + (3√2) / 2) = 0.5 x₂² + 4x₂ = (-2 - (3√2) / 2)² + 4(-2 - (3√2) / 2) = 0.5

Оба корня подходят.

Ответ: x₁ = -2 + (3√2) / 2, x₂ = -2 - (3√2) / 2

4. Решение неравенства log₁/₂(2x - 1) > log₁/₂(x + 3)

Шаг 1: При основании логарифма меньше 1, знак неравенства меняется:

2x - 1 < x + 3

Шаг 2: Решим неравенство:

2x - x < 3 + 1 ⇒ x < 4

Шаг 3: Учтем область определения логарифмов:

2x - 1 > 0 ⇒ x > 1/2

x + 3 > 0 ⇒ x > -3

Шаг 4: Объединим все условия:

1/2 < x < 4

Ответ: 1/2 < x < 4

5. Решение уравнения log₃(x - 8) + log₃(x) = 2

Шаг 1: Используем свойство суммы логарифмов:

log₃((x - 8) ⋅ x) = 2

Шаг 2: Преобразуем уравнение:

(x - 8) ⋅ x = 3² ⇒ x² - 8x = 9 ⇒ x² - 8x - 9 = 0

Шаг 3: Решим квадратное уравнение через дискриминант:

D = (-8)² - 4 ⋅ 1 ⋅ (-9) = 64 + 36 = 100

x₁,₂ = (8 ± √100) / (2 ⋅ 1) = (8 ± 10) / 2

x₁ = (8 + 10) / 2 = 9

x₂ = (8 - 10) / 2 = -1

Шаг 4: Проверим корни на область определения логарифмов:

x - 8 > 0 ⇒ x > 8

x > 0

x = 9 подходит, x = -1 не подходит.

Ответ: x = 9

6. Решение неравенства log₂(2x - 3) > 1

Шаг 1: Преобразуем неравенство:

2x - 3 > 2¹ ⇒ 2x - 3 > 2

Шаг 2: Решим неравенство:

2x > 2 + 3 ⇒ 2x > 5 ⇒ x > 5/2

Шаг 3: Учтем область определения логарифма:

2x - 3 > 0 ⇒ 2x > 3 ⇒ x > 3/2

Шаг 4: Объединим условия:

x > 5/2

Ответ: x > 5/2

7. Решение уравнения log₂²(x) - 3log₂(x) = 4

Шаг 1: Введем замену: y = log₂(x)

y² - 3y = 4 ⇒ y² - 3y - 4 = 0

Шаг 2: Решим квадратное уравнение через дискриминант:

D = (-3)² - 4 ⋅ 1 ⋅ (-4) = 9 + 16 = 25

y₁,₂ = (3 ± √25) / (2 ⋅ 1) = (3 ± 5) / 2

y₁ = (3 + 5) / 2 = 4

y₂ = (3 - 5) / 2 = -1

Шаг 3: Вернемся к замене:

log₂(x) = 4 ⇒ x = 2⁴ = 16

log₂(x) = -1 ⇒ x = 2⁻¹ = 1/2

Шаг 4: Проверим корни на область определения логарифма:

x > 0

Оба корня подходят.

Ответ: x = 16, x = 1/2