В мешке находится 31 белая перчатка и 32 чёрные перчатки. Перчатки достают из мешка парами. Если достали пару перчаток одного цвета, то в мешок кладут черную перчатку. Если достали пару перчаток разного цвета, то в мешок кладут белую перчатку. Какого цвета окажется перчатка, которая останется в мешке последней?

Разбор задачи

Давай разбираться с этой задачей по шагам. У нас есть 31 белая и 32 чёрные перчатки. Из мешка их достают парами, и вот что происходит:

• Если пара одного цвета (две белые или две чёрные), то обратно в мешок кладётся чёрная перчатка.
• Если пара разного цвета (одна белая и одна чёрная), то обратно в мешок кладётся белая перчатка.

Наша цель — узнать цвет последней оставшейся перчатки.

Логика решения

Давай посмотрим, как меняется количество перчаток и их цвет:

1. Рассмотрим пару одного цвета: Допустим, мы достали две белые перчатки. Из них одну оставили себе (или она просто вынута), а вторую вернули в мешок, но уже чёрную. Что произошло с общим количеством перчаток? Оно уменьшилось на 1 (две вынули, одну вернули). А с соотношением цветов? Белых стало на 2 меньше, а чёрных — на 1 больше (ту, что вернули).
2. Рассмотрим пару разного цвета: Допустим, мы достали одну белую и одну чёрную. Их вернули обратно, но одну, белую. Что произошло? Общее количество перчаток не изменилось (две вынули, одну вернули — итого минус одна, но правило говорит, что положили обратно). Если достали пару разного цвета (белая + чёрная), то обратно кладут белую. То есть, одна чёрная ушла, а одна белая вернулась. Количество белых не изменилось, количество чёрных уменьшилось на 1.

Ключевой момент: обрати внимание на количество чёрных перчаток. Изначально их 32 (чётное число).

• Случай 1: достали пару одного цвета (две белые). Вернули чёрную. Количество чёрных перчаток осталось чётным (32 -> 32). Количество белых уменьшилось на 2.
• Случай 2: достали пару одного цвета (две чёрные). Вернули чёрную. Количество чёрных перчаток уменьшилось на 1 (32 -> 31). Стало нечётным!
• Случай 3: достали пару разного цвета (белая + чёрная). Вернули белую. Количество чёрных перчаток уменьшилось на 1 (32 -> 31). Стало нечётным!

Видишь, что происходит? Если мы достаём пару одного цвета (две чёрные) или пару разного цвета, количество чёрных перчаток уменьшается на 1, становясь нечётным.

А если достаем две белые, то возвращаем чёрную. Получается, что количество чёрных перчаток не меняется, а белых становится на 2 меньше.

Попробуем отследить чётность количества чёрных перчаток. Изначально их 32 (чётное). Если мы достаем пару чёрных или пару бело-чёрную, то возвращаем чёрную. В итоге чёрных станет на одну меньше (31 - нечётное). Если же мы достаем пару белых, то возвращаем чёрную. Количество чёрных не меняется (остаётся 32 - чётное).

Давай посмотрим на количество черных перчаток. Его всего 32 (чётное). Если мы достанем 2 черные, то вернем 1 черную. Останется 31 черная (нечетное). Если достанем 1 белую и 1 черную, то вернем 1 белую. Останется 31 черная (нечетное). Если достанем 2 белые, то вернем 1 черную. Останется 32 черных (четное).

Это значит, что мы можем достать 15 пар разных цветов (15 раз уменьшить количество черных перчаток на 1) или 15 пар черных (15 раз уменьшить количество черных перчаток на 1), и при этом мы достанем 15 белых перчаток. Таким образом, мы потратим 30 черных перчаток и 15 белых.

После 15 таких операций у нас останется:

• Чёрных перчаток: 32 - 30 = 2 (если мы доставали 15 пар черных) ИЛИ 32 - 15 = 17 (если доставали 15 пар разных цветов).
• Белых перчаток: 31 - 15 = 16 (если доставали 15 пар черных) ИЛИ 31 - 0 = 31 (если доставали 15 пар разных цветов).

Давай упростим. Заметим, что когда мы достаем пару разного цвета, мы возвращаем белую. Это означает, что число черных перчаток уменьшается на 1. А число белых остается прежним (одну достали, одну вернули). Если мы достаем пару одного цвета (две черные), то возвращаем черную. Число черных уменьшается на 1. Если достаем две белые, то возвращаем черную. Число черных остается прежним.

Самый простой способ — думать о последней перчатке. Мы достаем перчатки парами. Общее количество перчаток — 31 + 32 = 63.

Рассмотрим, что происходит с числом черных перчаток. Оно равно 32 (четное).

• Если достаем две черные, возвращаем одну черную. Число черных становится 32 - 2 + 1 = 31 (нечетное).
• Если достаем одну белую и одну черную, возвращаем одну белую. Число черных становится 32 - 1 = 31 (нечетное).
• Если достаем две белые, возвращаем одну черную. Число черных становится 32 + 1 = 33 (нечетное).

В любом случае, после каждого шага, когда мы достаем пару и возвращаем одну перчатку, количество чёрных перчаток становится нечётным.

Так как мы начинаем с чётного количества чёрных перчаток (32), и каждый раз, когда мы достаем пару и возвращаем одну, количество чёрных перчаток становится нечётным (31, 33, 31, 33...), то последнее оставшееся перчатка не может быть чёрной.

Попробуем рассуждать иначе. У нас есть 31 белая и 32 черные. Всего 63. Мы достаем пару, возвращаем одну. Всего операций будет 63 - 1 = 62 операции. То есть 31 пара достаётся.

Рассмотрим количество чёрных перчаток. Оно равно 32 (чётное).

1. Достали пару черных. Вернули черную. Количество черных: 32 - 2 + 1 = 31 (нечетное).

2. Достали пару разных (белая+черная). Вернули белую. Количество черных: 32 - 1 = 31 (нечетное).

3. Достали пару белых. Вернули черную. Количество черных: 32 + 1 = 33 (нечетное).

Обратите внимание, что после каждой операции количество черных перчаток становится нечетным.

У нас всего 32 черных перчатки. Чтобы количество черных стало нечетным, нужно, чтобы мы достали черную перчатку либо в паре с другой черной, либо в паре с белой.

Решающий момент: Если мы достаем пару разных цветов (1 белая, 1 черная), то возвращаем белую. В итоге чёрных перчаток становится на 1 меньше (32 -> 31). Если мы достаем пару одного цвета (2 черные), то возвращаем чёрную. Чёрных перчаток становится на 1 меньше (32 -> 31). Если мы достаем пару одного цвета (2 белые), то возвращаем чёрную. Чёрных перчаток становится на 1 больше (32 -> 33).

Главное правило: всегда возвращается одна перчатка. Общее число перчаток уменьшается на 1 за каждый ход.

Ключевое наблюдение: Количество черных перчаток равно 32 (чётное).

Если мы достаем пару черных, то возвращаем черную. Уменьшение числа черных: -2 + 1 = -1. Новое число черных: 31 (нечетное).

Если мы достаем пару белых, то возвращаем черную. Увеличение числа черных: +1. Новое число черных: 33 (нечетное).

Если мы достаем пару разного цвета (белая+черная), то возвращаем белую. Уменьшение числа черных: -1. Новое число черных: 31 (нечетное).

Вывод: Независимо от того, какую пару мы достаем, количество черных перчаток после каждого шага становится нечетным (31, 33, 31, 33...).

Итак, мы начинаем с 32 чёрных перчаток. Каждый шаг превращает чётное число чёрных перчаток в нечётное. Это значит, что последняя оставшаяся перчатка НЕ МОЖЕТ быть чёрной, потому что для неё не найдётся пары, чтобы сделать её число снова нечётным.

Следовательно, последняя оставшаяся перчатка должна быть белой.

Ответ: Белого.