1. В кубе АВСDА₁В₁С₁D₁ точка К — середина ребра В₁С₁. Плоскость а проходит через точки В, Ки Д. Найдите расстояние от точки С₁ до плоскости а, если ребро куба равно 3.

Пошаговое решение:

• Пусть ребро куба равно а. Тогда В₁С₁ = а. Так как точка К — середина ребра В₁С₁, то В₁К = КС₁ = а/2.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник ВВ₁К. По теореме Пифагора ВК = √(ВВ₁² + В₁К²) = √(а² + (а/2)²) = √(5а²/4) = (а√5)/2.
• Площадь треугольника ВКD равна половине площади грани куба, так как DК — медиана треугольника DC₁D₁. S(ВКD) = 1/2 * a².
• Объем пирамиды С₁ВКD равен 1/3 * S(ВКD) * h, где h — расстояние от точки С₁ до плоскости α.
• Найдем объем пирамиды С₁ВКD как разность объемов куба и объемов пирамид, отсекаемых плоскостью α. V(С₁ВКD) = V(куба) - V(пирамиды С₁ВКD).
• V(С₁ВКD) = V(куба) - (V(DАА₁D₁) + V(ВВ₁С₁) + V(КСС₁К₁)).
• Вычислим V(DАА₁D₁) = 1/3 * a² * a = a³/3.
• Вычислим V(ВВ₁С₁) = 1/6 * a² * a = a³/6.
• Вычислим V(КСС₁К₁) = 1/12 * a² * a = a³/12.
• V(С₁ВКD) = a³ - (a³/3 + a³/6 + a³/12) = a³ - (4a³/12 + 2a³/12 + a³/12) = a³ - 7a³/12 = 5a³/12.
• С другой стороны, V(С₁ВКD) = 1/3 * S(ВКD) * h = 1/3 * (a²√5)/2 * h.
• Приравняем два выражения для объема пирамиды: 5a³/12 = 1/3 * (a²√5)/2 * h.
• Сократим на a²: 5a/12 = (√5)/6 * h.
• Выразим h: h = (5a/12) / (√5/6) = (5a/12) * (6/√5) = (5a * 6) / (12 * √5) = (30a) / (12√5) = (5a) / (2√5) = (5a√5) / (2 * 5) = a√5/2.
• Так как ребро куба равно 3, то a = 3.
• Расстояние от точки C₁ до плоскости α равно h = (3√5)/2.

Ответ: (3√5)/2