7. В кубе А...Д, найдите тангенс угла между прямой СА, и плоскостью BDD,. В ГРАДУСАХ

Рассмотрим куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$.

Прямая $$CA_1$$ и плоскость $$BDD_1$$ образуют угол, тангенс которого нужно найти. Опустим перпендикуляр из точки $$A_1$$ на плоскость $$BDD_1$$. Обозначим точку пересечения за $$H$$. Тогда угол между прямой $$CA_1$$ и плоскостью $$BDD_1$$ будет углом $$CA_1H$$.

Тангенс угла $$CA_1H$$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то есть $$tan\angle CA_1H = \frac{CH}{A_1H}$$.

Известно, что диагональ куба $$A_1C$$ перпендикулярна плоскости, проходящей через середину $$A_1C$$, а плоскость $$BDD_1$$ проходит через середину $$A_1C$$. Тогда $$H$$ - точка пересечения диагоналей прямоугольника $$A_1B_1CD$$, то есть $$H$$ - середина $$A_1C$$.

Рассмотрим треугольник $$A_1CC_1$$. Он прямоугольный, так как куб. Примем сторону куба за $$a$$. Тогда $$A_1C_1=a$$, $$CC_1=a$$. Тогда по теореме Пифагора $$A_1C=\sqrt{A_1C_1^2+CC_1^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$$.

$$A_1H$$ - половина диагонали $$A_1C$$, значит $$A_1H = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$.

Поскольку $$H$$ - середина диагонали, то $$CH = \frac{A_1C}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$.

Тогда $$tan \angle CA_1H = \frac{CH}{A_1H} = \frac{a\sqrt{2}}{a} = \sqrt{2}$$.

Ответ: $$\sqrt{2}$$