В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми AD₁ и DM, где М — середина ребра D₁C₁. В ответе укажите значение косинуса угла, возведённое в квадрат.

Решение:

• Пусть сторона куба равна a.
• Координаты точек:\(A(0; 0; 0), D_1(0; 0; a), D(0; 0; 0), M(\frac{a}{2}; a; a)\)
• Векторы:

• \(\overrightarrow{AD_1} = (0; 0; a)\)
• \(\overrightarrow{DM} = (\frac{a}{2}; a; a)\)

• Косинус угла между векторами:

\[cos \alpha = \frac{\overrightarrow{AD_1} \cdot \overrightarrow{DM}}{|\overrightarrow{AD_1}| \cdot |\overrightarrow{DM}|}\]

• Скалярное произведение:

\[\overrightarrow{AD_1} \cdot \overrightarrow{DM} = 0 \cdot \frac{a}{2} + 0 \cdot a + a \cdot a = a^2\]

• Длины векторов:

\[|\overrightarrow{AD_1}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + a^2} = a\]

\[|\overrightarrow{DM}| = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + 2a^2} = \sqrt{\frac{9a^2}{4}} = \frac{3a}{2}\]

• Косинус угла:

\[cos \alpha = \frac{a^2}{a \cdot \frac{3a}{2}} = \frac{a^2}{\frac{3a^2}{2}} = \frac{2}{3}\]

• Квадрат косинуса угла:

\[cos^2 \alpha = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}\]

Ответ: \(\frac{4}{9}\)