В кубе ABCDABCD₁ найдите косинус угла между плоскостями BA₁C₁ и BA₁D₁

Задача 3.

• Пусть длина ребра куба равна a.
• Точка B - начало координат (0, 0, 0).
• Тогда координаты точек:
• A(a, 0, 0)
• C₁(0, a, a)
• A₁(a, 0, a)
• D₁(a, a, a)

• Векторы, лежащие в плоскости BA₁C₁:
• BA₁ = (a, 0, a)
• BC₁ = (0, a, a)
• Нормальный вектор n₁ к плоскости BA₁C₁ является векторным произведением BA₁ и BC₁:
• n₁ = (a * a - a * 0, a * 0 - a * a, a * a - 0 * 0) = (a², -a², a²)
• Упростим: n₁ = (1, -1, 1)

• Векторы, лежащие в плоскости BA₁D₁:
• BA₁ = (a, 0, a)
• BD₁ = (a, a, a)
• Нормальный вектор n₂ к плоскости BA₁D₁ является векторным произведением BA₁ и BD₁:
• n₂ = (0 * a - a * a, a * a - a * a, a * a - 0 * a) = (-a², 0, a²)
• Упростим: n₂ = (-1, 0, 1)

• Косинус угла между плоскостями:
• cos(θ) = |(n₁ ⋅ n₂) / (|n₁| ⋅ |n₂|)|

• Вычисляем:
• n₁ ⋅ n₂ = (1 * -1) + (-1 * 0) + (1 * 1) = -1 + 0 + 1 = 0
• cos(θ) = |0 / (|n₁| ⋅ |n₂|)| = 0

Ответ: 0