В корзине лежит 42 гриба: маслята и подосиновики. Известно, что среди любых 25 грибов имеется хотя бы один маслёнок, а среди любых 19 грибов - хотя бы один подосиновик. Сколько подосиновиков в корзине?

Решение:

Пусть \( M \) — количество маслят, а \( P \) — количество подосиновиков в корзине.

Всего грибов \( M + P = 42 \).

Условие «среди любых 25 грибов имеется хотя бы один маслёнок» означает, что количество подосиновиков не может быть больше 24. Если бы подосиновиков было 25 или больше, то можно было бы выбрать 25 грибов, среди которых не оказалось бы ни одного маслёнка.

Следовательно, \( P \le 25 - 1 = 24 \).

Условие «среди любых 19 грибов имеется хотя бы один подосиновик» означает, что количество маслят не может быть больше 18. Если бы маслят было 19 или больше, то можно было бы выбрать 19 грибов, среди которых не оказалось бы ни одного подосиновика.

Следовательно, \( M \le 19 - 1 = 18 \).

Мы имеем систему неравенств:

• \( P \le 24 \)
• \( M \le 18 \)
• \( M + P = 42 \)

Подставим \( M = 42 - P \) в неравенство \( M \le 18 \):

\( 42 - P \le 18 \)

\( 42 - 18 \le P \)

\( 24 \le P \)

Таким образом, у нас есть два условия для \( P \): \( P \le 24 \) и \( P \ge 24 \). Единственное значение, которое удовлетворяет обоим условиям, это \( P = 24 \).

Проверим, выполняется ли условие для \( M \):

\( M = 42 - P = 42 - 24 = 18 \).

\( M = 18 \) удовлетворяет условию \( M \le 18 \).

Итак, в корзине 24 подосиновика и 18 маслят.

Ответ: 24 подосиновика.