2. В координатной плоскости отметьте точки А(3;-3), В(-3;-1), C(4;-1), D(2;1), E(4;2) Найдите: a) координаты точки пересечения отрезка АВ с осью ординат; b) координаты точки пересечения отрезка CD с осью абсцисс; с) координаты точки пересечения прямая ВЕ и отрезком CD; d) координаты точки пересечения прямой АС и прямой ВЕ.

Ответ: а) (0, -2); b) (3, 0); c) (3, 0); d) (5, 1)

a) Координаты точки пересечения отрезка AB с осью ординат:

• Уравнение прямой AB: \(\frac{y - (-3)}{-1 - (-3)} = \frac{x - 3}{-3 - 3}\)
• \(\frac{y + 3}{2} = \frac{x - 3}{-6}\)
• \(-6(y + 3) = 2(x - 3)\)
• \(-6y - 18 = 2x - 6\)
• \(2x + 6y + 12 = 0\)
• \(x + 3y + 6 = 0\)
• Для точки пересечения с осью ординат x = 0:
• \(3y + 6 = 0\)
• \(y = -2\)
• Точка пересечения: (0, -2)

b) Координаты точки пересечения отрезка CD с осью абсцисс:

• Уравнение прямой CD: \(\frac{y - (-1)}{1 - (-1)} = \frac{x - 4}{2 - 4}\)
• \(\frac{y + 1}{2} = \frac{x - 4}{-2}\)
• \(-2(y + 1) = 2(x - 4)\)
• \(-2y - 2 = 2x - 8\)
• \(2x + 2y - 6 = 0\)
• \(x + y - 3 = 0\)
• Для точки пересечения с осью абсцисс y = 0:
• \(x - 3 = 0\)
• \(x = 3\)
• Точка пересечения: (3, 0)

c) Координаты точки пересечения прямой BE и отрезком CD:

• Уравнение прямой BE: \(\frac{y - (-1)}{2 - (-1)} = \frac{x - (-3)}{4 - (-3)}\)
• \(\frac{y + 1}{3} = \frac{x + 3}{7}\)
• \(7(y + 1) = 3(x + 3)\)
• \(7y + 7 = 3x + 9\)
• \(3x - 7y + 2 = 0\)
• Решаем систему уравнений:
• \(\begin{cases} x + y - 3 = 0 \ 3x - 7y + 2 = 0 \end{cases}\)
• \(\begin{cases} x = 3 - y \ 3(3 - y) - 7y + 2 = 0 \end{cases}\)
• \(9 - 3y - 7y + 2 = 0\)
• \(11 - 10y = 0\)
• \(y = \frac{11}{10} = 1.1\)
• \(x = 3 - 1.1 = 1.9\)
• Точка пересечения: (1.9, 1.1)

d) Координаты точки пересечения прямой AC и прямой BE:

• Уравнение прямой AC: \(\frac{y - (-3)}{-1 - (-3)} = \frac{x - 3}{4 - 3}\)
• \(\frac{y + 3}{2} = x - 3\)
• \(y + 3 = 2x - 6\)
• \(y = 2x - 9\)
• Решаем систему уравнений:
• \(\begin{cases} 3x - 7y + 2 = 0 \ y = 2x - 9 \end{cases}\)
• \(3x - 7(2x - 9) + 2 = 0\)
• \(3x - 14x + 63 + 2 = 0\)
• \(-11x + 65 = 0\)
• \(x = \frac{65}{11} \approx 5.91\)
• \(y = 2 \cdot \frac{65}{11} - 9 = \frac{130}{11} - \frac{99}{11} = \frac{31}{11} \approx 2.82\)
• Точка пересечения: (5.91, 2.82)

Ответ: а) (0, -2); b) (3, 0); c) (1.9, 1.1); d) (5.91, 2.82)